第二章 反证法-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-2同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-2 推理与证明 测试内容：反证法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．反证法是间接证明的一种基本方法．假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为： (1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)归谬：从假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 3．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等． 4.反证法中的“反设”和“归谬” (1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况． (2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果． 题型一：用反证法证明否定性命题 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．(　　) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　　) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　　) 2．做一做 (1)已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一解，适宜用________证明． (2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，则假设的内容是________． (3)用反证法证明命题“如果a>b，则>”时，假设的内容是________． 3.已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根． 4.已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 题型二：用反证法证明“至多”“至少”型命题 5.已知a，b，c是互不相等且均不为0的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点． 6.求证下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根时实数a的取值范围为. . 题型三：用反证法证明唯一性命题 7.用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行． 8.已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a，b，m有且只有一个平面． 综合小测试 1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是(　　) A．假设三个内角都不大于60° B．假设三个内角都大于60° C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60° 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数(　　) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个是正数 D．两个都是负数 3．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________． 4．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________． 5．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c，求证：＝＋不成立． 巩固小练 1.利用反证法证明“若x2+y2=0,则x=y=0”时,应假设(　　) A.x,y都不为0 B.x≠y,且x,y都不为0 C.x≠y,且x,y不都为0 D.x,y不都为0 2.设a,b是两个实数,下列条件中,能推出“a,b中至少有一个大于1”的是(　　) A.a+b>1 B.a+b>2 C.a2+b2>2 D.ab>1 3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减.若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(　　) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 4.设a>b>0,m=,n=,则m,n的大小关系是　　　　　.  【能力提升】 5.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(　　) A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2