3.3.2 用反比例函数解决问题（应用）-2022年中考数学总复习全优学案（全国通用）

3.3.2 用反比例函数解决问题（应用） 考点1 用一次函数解决问题 1. 数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2. 正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 例1 购买x只茶杯需15元，则购买茶杯的单价y与x的关系式为（ ） A．（x取实数） B．（x取正整数） C． D．（x取整数） 【答案】B 【解析】先由买x只茶杯需15元，得出xy=15，故y是x的反比例函数，再根据x、y的实际意义可知，x、y应大于0，且x的值取正整数，即可得出答案． 【详解】解：由题意，得xy=15，∴ x的值取正整数，∴故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定自变量的取值范围． 例2 如图，△ABC的边BC＝y，BC边上的高AD＝x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三角形的面积为定值，可得y与x的函数关系式，进而根据反比例函数图像以及根据分析判断即可 【详解】的面积为3，则即 函数图像是双曲线 该反比例函数图像位于第一象限，故选A 【点睛】本题考查了反比例函数图象，反比例函数的应用，掌握反比例函数图像是解题的关键． 例3 某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强P（pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系为P＝，如图所示，那么当S＞16m2时，P的变化为（　　） A．P＞10 B．定值 C．逐渐变小 D．无法判断 【答案】C 【解析】根据函数图象分析即可． 【详解】根据题意以及函数图象可得，当S＞16m2时，P的变化逐渐变小，故选C 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，数形结合是解题的关键． 例4 一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意设反比例，再利用待定系数法求解函数解析式即可. 【详解】解： 一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系， 设（k≠0），∵当x=2时，y=20，∴k=40， ∴，其中＞ 则y与x的函数图象大致是C.故选： 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，掌握实际问题中的反比例函数的图象是解题的关键. 例5 如图，在中，，，直线经过原点O，点C在y轴上，交x轴于点D，，若反比例函数经过A，B两点，则k的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点作轴于点，先利用反比例函数的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，又利用勾股定理可得的长，由此可得点的坐标，最后利用待定系数法即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由反比例函数的性质得：点关于原点对称， ， 在中，， ， 又轴， ， 在和中，， ， ，即， 解得， 在中，， ， 将点代入得：，故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 例6 如图，平行四边形ABCD的顶点D和C在x轴上，AC和BD相交于点M，线段AB的中点为E，AC交y轴于点F，连接BF．若反比例函数的图象经过点E和点M，AF：FM＝1：2，且△BFM的面积为，则k的值为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】C 【解析】设与轴交于点，设，反比例函数解析式为，则，根据平行四边形的性质以及线段AB的中点为E，可得，的坐标，根据点在反比例函数图象上可得①，根据AF：FM＝1：2，且△BFM的面积为，可得，②，证明，求得点的坐标，根据的中点坐标公式求得③，联立①②③即可求得的值 【详解】解：如图，设与轴交于点， 设，反比例函数解析式为，则， 四边形是平行四边形 ， 又线段AB的中点为E， 都在反比例函数， ，即① AF：FM＝1：2，且△BFM的面积为， ， 即 即② ， 设直线的解析式为 则解得： 直线的解