3.3.1 反比例函数的图象与性质-2022年中考数学总复习全优学案（全国通用）

3.3.1 反比例函数的图象与性质 考点1 反比例函数的概念 1. 反比例函数的概念： 一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 考点2 反比例函数的图象和性质 1. 反比例函数的图象： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 2. 反比例函数的性质： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 y O x y O x 性质 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0 ②当k>0时，函数图象的两个分支分别 在第一、三象限。在每一象限内，y 随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k<0时，函数图象的两个分支分别 在第二、四象限。在每一象限内，y 随x 的增大而增大。 例1 已知函数是反比例函数，则的值为（ ）． A．1 B．－1 C．±1 D．±2 【答案】A 【解析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y= (k≠0)，即可得到关于n的方程，解方程即可求出n． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴n+1≠0且n2−2＝−1， ∴n＝1，故答案选A 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般式y= (k≠0)，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 例2 小明在画函数（x＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是（　　） x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 … y … 6 3 2 1 … A．（1，6） B．（2，3） C．（3，2） D．（4，1） 【答案】D 【解析】在函数（x＞0）的图象上点的坐标一定满足关系式，点的坐标不满足关系式，这个点就不在这个还是的图象上，因此验证哪个点的纵横坐标的满足即可． 【详解】解：∵x＝4，y＝1，不满足， ∴（4，1）不在反比例函数的图象上，故选：D． 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，要代入验证即可，也就是xy=k． 例3 如图，已知一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（x＞0）交于C点，且AB＝AC，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，作CD⊥x轴于点D，根据AB=AC，证明△BAO≌△CAD（AAS），根据一次函数解析式表达出BO=CD=2，OA=AD=，从而表达出点C的坐标，代入反比例函数解析式即可解答． 【详解】解：如图所示，作CD⊥x轴于点D， ∴∠CDA=∠BOA=90°， ∵∠BAO=∠CAD，AB=AC，∴△BAO≌△CAD（AAS），∴BO=CD， 对于一次函数 y=kx-3， 当x=0时，y=-3，当y=0时，x=， ∴BO=CD=3，OA=AD=， ∴OD= ∴点C（，3）， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得，故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．表达出C点的坐标是解题的关键． 例4 已知是满足的整数使得反比例函数的图像在每一个象限内随着的增大而减小的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】先求出不等式组的解集，再根据题意得出的值，最后根据反比例函数的性质求出满足题意的概率． 【详解】解：，解得：，∵为整数 ∴a的值为：-1，0，1，2，共4个整数， ∵，且满足随着的增大而减小， ∴a的值只能为：1，2，共2个整数， ∴满足题意的的值且能使反比例函数满足随着的增大而减小的概率为，故选：B． 【点睛】本题主要考查了解不等式组以及反比例函数的性质和求概率得相关知识，熟练掌握解不等式组以及反比例函数的性质是解答本题的关键． 例5 如图，反比例函数过点，正方形的边长为，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正方形的边长为，求出点A（-2，2），根据反比例函数过点A，将点A坐标代入解析式求出k即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴OB=OC=2， ∴点A（-2，2）， ∵反比例函数过点A， ∴．故选：D． 【点睛】本题