1.1.1 空间向量及其线性运算（课时训练）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 选题明细表 知识点、方法 题号 基本概念 1,2,8 线性运算 3,5,9,12 共线与共面 4,6,7,10,11 基础巩固 1.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是(　B　) ①任一向量与它的相反向量都不相等; ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量; ③平行且模相等的两个向量是相等向量; ④若a≠b,则|a|≠|b|; ⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:零向量与它的相反向量相等,①错误;由相等向量的定义知②正确;两个向量平行且模相等,方向不一定相同,故不一定是相等向量,③错误;a≠b,可能两个向量模相等而方向不同,④错误;两个向量相等,是指它们方向相同,大小相等,向量可以在空间自由移动,故起点和终点不一定相同,⑤错误.故选B. 2.(多选题)(2020·山东烟台高二期中)下列命题是假命题的是(　ABC　) (A)若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 (B)=的充要条件是A与C重合,B与D重合 (C)若向量,满足||>||,且与同向,则> (D)若两个非零向量与满足+=0,则∥ 解析:因为空间中任意两向量平移之后都可以共面,所以空间中任意两向量均共面,选项A是假命题;由=知,||=||,且与同向,但A与C,B与D不一定重合,选项B是假命题;空间向量不能比较大小,只能对向量的长度进行比较,选项C是假命题;因为+=0,所以=-,即与共线,故∥,选项D是真命题.故选ABC. 3.(2020·广东深圳实验学校高二期中)如图所示,在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量中与2相等的向量是(　A　) (A)-a+b+2c (B)a+b+2c (C)a-b+2c (D)-a-b+2c 解析:因为=+=+(+)=c+(-a+b), 所以2=2c-a+b,故选A. 4.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　A　) (A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D 解析:因为+==2a+4b=2(a+2b)=2,又,有公共点B, 所以A,B,D三点共线.故选A. 5.在空间四边形ABCD中,若△BCD是正三角形,且E为其中心,连接DE,则+--的化简结果为　　　　.  解析:延长DE,交BC于点F(图略),则F为BC的中点, 所以=,=, 所以+--=+++=0. 答案:0 6.已知点P和不共线的三点A,B,C共面且对于空间任意一点O,都有=2++λ,则λ=　　　 　.  解析:对于空间不共线的三点A,B,C和点P,若四点共面,则对空间任意一点O,都有=x+y+z,其中x+y+z=1,所以λ=-2. 答案:-2 能力提升 7.(2020·广东广州二中高二月考)已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,下列能得到P,A,B,C四点共面的是(　B　) (A)=++ (B)=++ (C)=-++ (D)以上都不对 解析:若点P,A,B,C共面,设=x+y+z,则x+y+z=1,满足条件的只有B,故选B. 8.(多选题)下列说法错误的是(　ACD　) (A)若|a|=|b|,则a=b或a=-b (B)若a,b为相反向量,则a+b=0 (C)零向量是没有方向的向量 (D)若a,b是两个单位向量,则a=b 解析:若|a|=|b|,则它们的方向相同时是相等向量,方向相反时是相反向量,还有可能方向既不相同,也不相反,A错误;若a,b为相反向量,则它们的和为零向量,B正确;零向量的方向是任意的,C错误;两个单位向量只是模都为1,方向不一定相同,D错误.故选ACD. 9.如图所示,在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,设=a,=b,=c, N是BC的中点,用a,b,c表示 为(　A　) (A)-a+b+c (B)-a+b+c (C)-a-b+c (D)a-b+c 解析:因为N是BC的中点, 所以=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.故选A. 10.有下列说法: ①若p=xa+yb,则p与a,b共面; ②若p与a,b共面,则p=xa+yb; ③若=x+y,则P,M,A,B四点共面; ④若P,M,A,B四点共面,则=x+y. 其中正确的是　　　　.(填序号)  解析:若a,b共线,由p=xa+yb知p一定与a,b共面,若a,b不共线,由向量共面的充要条件知p与a,b共面,①正确;同理③正确;若p与a,b共面,且a,b共线,则不一定有p=xa+yb,故②不正确;同理④不 正确. 答案:①③ 11.如图所示,在正方体A1B1C1D1 -ABCD中,E,F