练案1 1.1.1 空间向量及其线性运算-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

▲ 189 ▲ ▲ 190 ▲ 　 　 　 　 　 练练练案案案及及及考考考案案案部部部分分分 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 详详详解解解答答答案案案 [练案部分] 练案[1] A 组·素养自测 1. D　 DA→ + CD→ - CB→ = (CD→ + DA→) - CB→ = CA→ - CB→ = BA→. 2. C　 由共面向量定理知,MA→,MB→,MC→共面. 3. ABC　 在平面内共线的向量,在空间一定共线,A 错,C 错. 在空间共线的向量,平移到一个平面上一定共线,B 错,D 对. 4. D　 AE→ = AA1→ + A1E→ = AA1→ + 14 A1C1 → = AA1→ + 14 (AB → + AD→) . 所以 x = 1,y = 1 4 . 5. B　 本小题主要考查解空间向量的运算,若 AB 中点为 D,CN→ = CD→ + DN→ = 1 2 (a + b + c),故选 B. 6. 0　 解法一:(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB→ - CD→) - (AC→ - BD→) = AB→ - CD→ - AC→ + BD→ = AB→ + DC→ + CA→ + BD→ = AB→ + BD→ + DC→ + CA→ = 0. 解法二:(利用向量的减法运算法则求解) (AB→ - CD→) - (AC→ - BD→) = (AB→ - AC→) + BD→ - CD→ = CB→ + BD→ - CD→ = CD→ - CD→ = 0. 7. 76 　 如图所示,有AC1 → = AB→ + BC→ + CC1→ = AB→ + BC→ + ( - 1)·C1C→. 又∵ AC1 → = x·AB→ + 2y·BC→ + 3z·C1C →, ∴ x = 1, 2y = 1, 3z = - 1, { 解得 x = 1, y = 12 , z = - 13 . ì î í ï ï ïï ∴ x + y + z = 1 + 12 - 1 3 = 7 6 . 8. 1　 如图,在四面体 ABCD 中,E,G 分别是 CD,BE 的中点,AG→ = AB→ + BG→ = AB→ + 12 BE → = AB→ + 12 × 1 2 (BC → + BD→) = AB→ + 14 (AC → - AB→ + AD→ - AB→) = AB→ + 14 AC → + 14 AD → - 12 AB → = 12 AB → + 14 AD → + 1 4 AC →. ∵ AG→ = x AB→ + y AD→ + z AC→,∴ x + y + z = 12 + 1 4 + 1 4 = 1. 9. (1)原式 = AB→ + AA′→ + AD→ - AA′→ - AD→ = AB→. (2)原式 = CC′→ + AD→ - AA′→ = AD→. 10. (1)∵ AE︰EC′ = 1︰2, ∴ AE→ = 13 AC′ → = 13 (AB → + BC→ + CC′→) = 1 3 (AB → + AD→ + AA′→) = 13 AA′ → + 13 AB → + 13 AD →, ∴ x = 13 ,y = 1 3 ,z = 1 3 . (2)∵ F 为 B′D′的中点, ∴ BF→ = 12 (BB′ → + BD′→) = 12 (BB′ → + BA→ + AA′→ + A′D′→) = 12 (2 BB′ → + BA→ + BC→) = BB′→ + 12 BA → + 12 BC →, ∴ x = 1,y = 12 ,z = 1 2 . (3)∵ G、F 分别为 BD′、B′D′的中点, ∴ GF→ = 12 BB′ →,∴ x = 12 ,y = 0,z = 0. B 组·素养提升 1. D　 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解, | a + b + c | = 2 |AC→ | = 2 2 . 2. A　 MP→ + NC1→ = 12 AA1 → + AD→ + 12 AB → + 12 AD → + AA1→ = 32 AA1 → + 12 AB → + 3 2 AD → = 32 a + 1 2 b + 3 2 c,故选 A. 3. ABD　 A. 假命题. 将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时,它们 的终点将构成一个球面,而不是一个圆. B. 假命题. 根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且 方向还要相同,但 B 中向量 a 与 b 的方向不一定相同. C. 真命题. 向量的相等满足递推规律. D. 假命题. 空间中任意两个单位向量模长均为 1,但方向不一定相同,所以 不一定相等,故 D 错.