1.1.1 空间向量及其线性运算（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 在空间向量概念的形成中和进行线性运算的过程中,经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程,发展学生的直观想象、数学抽象和数学运算素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 小明从学校回家,需先从学校大门口骑上自行车向北行驶1 000 m,再向东行驶1 500 m,最后乘电梯上升15 m到5楼的住处.在这个过程中,小明从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示). 情境导入 探究:(1)以上三个位移是同一个平面内的向量吗? (2)如何刻画小明同学行驶的位移? 答案:(1)不是.(2)借助于空间向量的运算. 数学 几何表示法 空间向量用有向线段表示 字母表示法 用字母表示,如图,此向量的起点是A,终点是B,可记作a,也 可以记作 ,其模记为 或 . 知识探究 1.空间向量 (1)定义 在空间,把具有 的量叫做空间向量. (2)长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或 . (3)表示方法 大小和方向 模 |a| 数学 (4)几类特殊的空间向量 ①零向量:规定 叫做零向量,记为0. ②单位向量: 叫做单位向量. ③相反向量:与向量a长度相等而 的向量叫做a的相反向量,记为-a. ④相等向量: 叫做相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示 或 . ⑤共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在直线互相 或 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 长度为0的向量 模为1的向量 方向相反 方向相同且模相等的向量 同一向量 相等向量 平行 重合 数学 答案:(1)区别:平面向量研究的是二维平面的向量,空间向量研究的是三维空间的向量. (2)联系:空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线(平行)向量的概念都与平面向量相同. [问题1] 平面向量与空间向量有什么区别和联系? 2.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法、数乘运算的定义 把平面向量的线性运算推广到空间,定义空间向量的加法、减法(图1)以及数乘运算(图2): 数学 0 (2)运算律 空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ,μ∈R): 交换律:a+b= ; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)= ; 分配律:(λ+μ)a= ,λ(a+b)= . b+a (λμ)a λa+μa λa+λb 数学 答案:(1)λ>0时,向量λa的方向与向量a的方向相同,λ<0时,向量λa的方向与向量a的方向相反,λ=0时,λa为0,方向是任意的. (2)λa的模为|λa|=|λ|·|a|,即向量a的模的|λ|倍. (3)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和 . [问题2] λ∈R,向量a≠0,则向量λa的方向、模与向量a的方向、模之间分别有什么关系? 不变 3.向量共线与共面向量 (1)空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 . a=λb 数学 λa 把与向量a平行的非零向量称为直线l的 (direction vector).这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的 确定. 方向向量 方向向量 数学 平行 重合 平行 共面向量 数学 唯一 (4)向量共面的充要条件 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. 答案:(1)当λ+μ=1时,A,B,P三点共线. 数学 答案:不一定.若三个向量共面,则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. [问题3-2] 三个向量共面,是否表示这三个向量的有向线段所在的直线一定共面? 答案:(1)共面.(2)共面.(3)共面. 数学 小试身手 数学 2.如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量的表达式. 数学