黑龙江省哈尔滨市第一中学校2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）试题

哈尔滨市第一中学校 2021-2022学年度上学期期末考试 高三数学（理）试卷 出题人：胡海欧 审题人：高颖 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷 选择题（60分） 1、 选择题：（本题共12小题，共60分，只有一项符合题目要求，每小题5分） 1．已知集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 2．已知命题 ，则 是（ ） A． B． C． D． 3．“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面､椭球面､单叶双曲面和双曲抛物面､比如，中心在原点的椭球面的方程为 ，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图 )，若某建筑准备采用半椭球面设计(如图 )，半椭球面方程为 ，该建筑设计图纸的比例(长度比)为 (单位： )，则该建筑的占地面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知向量 ， ，则下列说法错误的是（ ） A．若 ，则 的值为 B． 的最小值为1 C．若 ，则 的值为2 D．若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 且 6．如果函数 的图象关于点 对称，那么 的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是 A．AB与CF成60°角 B．BD与EF成60°角 C．AB与CD成60° D．AB与EF成60°角 8．已知数列 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 9．在 的二项展开式中含 项的系数为（ ） A． B． C． D． 10．函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 11．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 12．函数 对任意 都有 成立，且函数 的图象关于点 对称， ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（共20分，每题5分，请把答案写到答题卡的相应位置。） 13．已知函数 的图象恒过点 ，若点 在角 的终边上，则 ____________. 14．已知函数 ，若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________. 15．若等差数列 满足 ， ，则当 __ _时， 的前 项和最大． 16．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 ，则正确的是 ① ⊥平面 ②该二十四等边体的体积为 ③该二十四等边体外接球的表面积为8π ④ 与平面 所成角的正弦值为 三、解答题（本题共6小题，共70分，17-21每题12分，22题10分） 17．（本小题满分12分）已知 的内角 所对的边分别是 ， ， （1）若 ，求 ； （2）求 的最大值，以及此时的内角 . 18.（本小题满分12分） 设数列 的前 项和为 ，且满足 ， 是公差不为0的等差数列， ， 是 与 的等比中项. （1）求数列 和 的通项公式； （2）对任意的正整数 ，设 ，求数列 的前 项和 . 19．（本小题满分12分）在核酸检测中, “ 合1” 混采核酸检测是指：先将 个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确（I）将这100人随机平均分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (II）将这100人随机平均分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.试求两名感染者在同一组的概率 20．（本小题满分12分）木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图，楔子状五面体 的底面 为一个矩形， ， ， 平面 ，棱 ，设 ， 分别是 ， 的中点. （1）证明： ， ， ， 四点共面，且平面 平面 ； （2）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 21．（本小题满分1