专题二 第二讲 数列的综合问题（教参）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

第二讲　数列的综合问题 授课提示：对应学生用书第22页 把脉考情　在解答题中，会继续考查等差、等比数列的判定、基本量计算以及由递推公式求通项、数列求和问题，注意与不等式的交汇考查． 1．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． 解析：(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2， 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记Sn为{nan}的前n项和．由(1)及题设可得an＝(－2)n－1，所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n ＝－n×(－2)n.所以Sn＝－. 方向 求公比、求和. 素养 数学运算、逻辑推理. 方法 基本量的计算求通项、错位相减法求和. 2.(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 解析：(1)证明：由bn＝S1·S2·…·Sn可得， Sn＝ 由＋＝2知， 当n＝1时，＋＝2，即＋＝2，所以b1＝S1＝， 当n≥2时，＋＝2，即2bn＝2bn－1＋1，即bn－bn－1＝， 故数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝， 故当n≥2时，Sn＝＝，S1也符合该式， 即Sn＝(n∈N*)， 从而a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，a1不符合该式， 所以an＝ 方向 证明等差数列、求和. 素养 数学运算、逻辑推理. 方法 根据定义证明、变换求和. 3.(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解析：选①②作为条件，证明③. 证明：设等差数列{an}的公差为d，因为{}是等差数列，所以2＝＋，即2＝＋，两边平方，得4(2a1＋d)＝a1＋3a1＋3d＋2，整理得4a1＋d＝2，两边平方，得16a＋8a1d＋d2＝4(3a＋3a1d)，化简得4a－ 4a1d＋d2＝0，即(2a1－d)2＝0，所以d＝2a1，则a2＝a1＋d＝3a1. 选①③作为条件，证明②. 证明：设等差数列{an}的公差为d. 因为a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，所以d＝2a1. 所以等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋d＝na1＋·2a1＝n2a1. 又a1>0，所以＝n. 则－＝(n＋1)－n＝，所以数列{}是公差为的等差数列． 选②③作为条件，证明①. 证明：设等差数列{}的公差为d，因为＝，＝＝＝2，所以d＝－＝2－＝，则等差数列{}的通项公式为＝＋(n－1)＝n，所以Sn＝n2a1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1，且当n＝1时，上式也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)a1，则an＋1－an＝(2n＋1)a1－(2n－1)a1＝2a1，所以数列{an}是公差为2a1的等差数列． 方向 证明是等差数列或证明项与项的关系. 素养 数学运算、逻辑推理. 方法 变换、紧扣等差数列的定义与性质. 授课提示：对应学生用书第23页 　　合作探究 [典例]　已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝. (1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. [解析]　(1)证明：记bn＝－1，则＝＝＝＝＝，又b1＝－1＝－1＝，所以是首项为，公比为的等比数列．所以－1＝·n－1，即an＝，所以数列{an}的通项公式为an＝. (2)由(1)知，－1＝·n－1，即＝·n－1＋1.所以数列的前n项和Tn＝＋n＝＋n. 1.取倒数法：若an＝(m≠kb，mkb≠0，n≥2)，对an＝取倒数，得到＝·，即＝·＋，令bn＝，则{bn}的递推公式可归纳为bn＋1＝pbn＋q(p≠0，p≠1，q≠0)型. 2.构造等比数列法：若已知在数列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝，则数列就是以a1＋为首项，p为公比的等比数列，先求出数列的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可． [即学即