专题二 第一讲 等差数列、等比数列（教参）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

第一讲　等差数列、等比数列 授课提示：对应学生用书第19页 把脉考情　在选择、填空题中会继续考查等差数列、等比数列的基本量的计算，注意整体思想及方程思想的运用． 1．(2020·全国卷Ⅱ)在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析：∵a1＝2，am＋n＝aman， 令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an， ∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴an＝2×2n－1＝2n. 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25， ∴＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4. 答案：C 方向 等比数列的定义与求和. 素养 逻辑推理、数学运算. 方法 令m＝1，从而确定{an}是等比数列，求出通项公式，进而利用等比数列前n项和公式求解. 2.(2020·全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__________． 解析：法一(观察归纳法)：数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5. 故前n项和为Sn＝＝＝3n2－2n. 法二(引入参变量法)：令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)． at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5. 以下同法一． 答案：3n2－2n 方向 等差数列的通项公式及前n项和公式. 素养 逻辑推理、数学运算. 方法 观察归纳两个等差数列公共项形成的等差数列并求和. 3.(2020·全国卷Ⅰ)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝__________. 解析：法一：因为an＋2＋(－1)nan＝3n－1， 所以当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{an}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，an＋2－an＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24， a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102， 所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7. 法二：同法一得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝448. 当n为奇数时，有an＋2－an＝3n－1， 由累加法得an＋2－a1＝3(1＋3＋5＋…＋n)－＝(1＋n)·－＝n2＋n＋， 所以an＋2＝n2＋n＋＋a1. 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝a1＋＋＋＋＋＋＋ ＝8a1＋392＝448，解得a1＝7. 答案：7 方向 数列的递推公式，数列求和. 素养 逻辑推理、数学运算. 方法 利用递推公式先将奇数项与偶数项之间的关系进行分离并求解，然后利用递推公式逐步建立首项与相关项的关系式并列出方程求解. 授课提示：对应学生用书第19页 　　多维探究 (一)常规考法——考四基 1．(等差数列判定)设{an}是等差数列，则以bn＝为通项的数列{bn}(　　) A．是等比数列 B．是等差数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 解析：设{an}的公差是d，则当n≥2时， bn－bn－1＝－＝－＝＝＝(为常数)． 易知不一定是常数． 因此{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列，不一定是等比数列． 答案：B 2．(等比数列判定)设b∈R，数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则(　　) A．{an}是等比数列 B．{an}是等差数列 C．当b＝－1时，{an}是等比数列 D．当b≠－1时，{an}是等比数列 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋