3.2.2 用一次函数解决问题（应用）-2022年中考数学总复习全优学案（全国通用）

3.2.2 用一次函数解决问题（应用） 考点1 用一次函数解决问题 1. 数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2. 正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3. 选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 例1 某市出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，y（元）表示车费，若某乘客有一次乘出租车的车费为36元，则这位乘客乘车的里程为（　　） A．10 B．14 C．15 D．17 【答案】D 【解析】根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当时，与的函数关系式为，运用待定系数法求出一次函数解析式，将代入解析式就可以求出的值． 【详解】解：由图象得：出租车的起步价是8元； 设当时，与的函数关系式为，由函数图象，得 ，解得：，故与的函数关系式为：； 元元， 当时， ， ，故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键． 例2 如图，已知Rt，90°，，分别为，上的点，且，记，，且，则的长为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可当，则有，即，此时点P、Q与点C重合，当时，则有，此时点P与点A重合，点Q与AB重合，进而可得AB=2，AC=4，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：∵，，，且， ∴当，则有，即， ∴点P、Q与点C重合，则AC=4， 当时，则有， ∴点P与点A重合，点Q与AB重合，即AB=2， ∴在Rt中，；故选D． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质及勾股定理，熟练掌握一次函数的性质及勾股定理是解题的关键． 例3 永康市某公交车月乘车人数x（人）与月利润y（元）的变化关系如下表所示，如果每位乘客的公交票价和此公交车月支出费用是固定不变的，那么此公交车每月的支出费用是（ ）（注：月利润=月收入总额-月支出费用） x（人） … 500 1000 1500 2500 3000 … y（元） … 750 1500 … A．2000元 B．3000元 C．3600元 D．4000元 【答案】B 【解析】根据表格可知乘车人数x（人）与月利润y（元）的一次函数变化关系，设每位乘客的公交票价为元，公交车每月的支出费用为b元，可得，把表格数据代入两组求出b即可解答． 【详解】解： 设每位乘客的公交票价为元，公交车每月的支出费用为b元，则， 依题意得： ，解得：， 即此公交车每月的支出费用是3000元；故选B． 【点睛】本题考查了一次函数函数的应用，解决本题的关键是列出函数关系式． 例4 如图，一次函数与y轴相交于点，与轴相交于点，在直线上取一点（点不与，重合），过点作轴，垂足为点，连结，若的面积恰好为，则满足条件的点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，分三种情况分析解答：当p在第一象限时，当p在第二象限时，当p在第三象限时． 【详解】解：一次函数，令x=0，则y=3；令y=0，则0=2x+3，解得x=， ∴A(0，3)，B(，0)， 设p(t，2t+3)，则Q(t，0)， 当p在第一象限时， ， ∴，解得t=（负值舍去）， ∴2t+3=， ∴P(，)； 当p在第二象限时， ∴=，解得t= -， ∴2t+3=， ∴P(-，)； 当p在第三象限时， ， ∴=，解得t=（正值舍去）， ∴2t+3=， ∴P(，)； 综上所述，P点的坐标共3个，故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用． 例5 如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向运动到点停止，设点的运动路程为，在下列图象中，能表示的面积关于的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分、两种情况，分别求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：当时，如图， 则，为常数； 当时，如下图， 则，为一次函数；故选：D． 【点睛】本题考查了动点函数图