3.2.1 一次函数的图象与性质-2022年中考数学总复习全优学案（全国通用）

3.2.1 一次函数的图象与性质 考点1 正比例函数与一次函数 1. 正比例函数和一次函数的概念： 一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。 2. 正比例函数是特殊的一次函数。 考点2 一次函数的图象和性质 1. 一次函数的图象是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图象是经过原点（0，0）的直线。 2. 一次函数的图象和性质： k的符号 b的符号 函数图象 图象特征 k>0 b>0 y x 图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。 b<0 y 0 x 图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。 K<0 b>0 x 图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小。 b<0 y x 图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。 注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 3. 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 例1 下列函数中，为一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据一次函数的定义即可求解． 【详解】A.不是一次函数， B.不是一次函数， C.不是一次函数， D.是一次函数故选D． 【点睛】一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 例2 如图，直线l1和l2相交于点P3（x3，y3），点P1（x1，y1）在直线l1，点P2（x2，y2）在直线l2上，且x1＞x3，x2＞x3，则y1，y2，y3大小关系正确的是（ ） A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 【答案】A 【解析】根据一次函数的性质，利用可得，利用可得，即可得到结论． 【详解】由图像可知：直线的性质为：随的增大而减小 由图像可知：直线的性质为：随的增大而增大 故选： 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标的特征，，随的增大而增大；，随的增大而减小，利用此性质是解题关键． 例3 直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】根据各个图象的位置判断k、b的正负，比较即可. 【详解】A、直线解析式中，k>0，b>0，直线解析式中， b<0，-k>0，即k<0，矛盾； B、直线解析式中，k>0，b>0，直线解析式中， b>0，-k<0，即k>0，一致； C、直线解析式中，k<0，b>0，直线解析式中， b>0，-k<0，即k>0，矛盾； D、直线解析式中，k<0，b>0，直线解析式中， b<0，-k<0，即k>0，矛盾；故选：B 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确确定待定系数k与b的正负，本题属于基础题型． 例4 如果函数y＝（m＋1）x＋m2﹣1是正比例函数．则m的值是___． 【答案】1 【解析】由正比例函数的定义：可得m2﹣1＝0，且m＋1≠0，然后解关于m的方程即可． 【详解】由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m＋1≠0，解得，m＝1；故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 例5 已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 【答案】 【解析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得． 【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为，故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系． 例6 已知直线y＝3x与y＝﹣x+b的交点坐标为（a，3）则2b+a的平方根是______． 【答案】±3 【解析】将x＝a，y＝3代入y＝3x，求得a＝1，将x＝1，y＝3代入y＝﹣x+b得b＝4，然后可求得2b+a的值，进而求出2b+a的平方根． 【详解】解：∵将x＝a，y＝3代入y＝3x得：3＝3a，解得a＝1， ∴直线y＝3x与y＝﹣x+b的交点坐标为（1，3）． 将x＝1，y＝3代入y＝﹣x+b得：﹣1+b＝3．解得：b＝4． ∴2b+a＝8+1＝9， ∴2b+a的平方根是±