第4讲 二项式定理(考点定位精讲讲练)-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第4讲 二项式定理考点定位精讲讲练 1、二项式定理： 公式，叫做二项式定理。其中 叫做二项式系数；公式右边的多项式叫做的二项展开式；叫做二项展开式的通项，它表示第项；二项式系数与数字系数的积叫做项的系数。 二项展开式的特性如下： （1）系数规律：； （2）项数规律：二项和的次幂的展开式共有个项. （3）指数规律：各项的次数均为；二项展开式中的次数由降到0，的次数由0升到，与指数之和为. （4）求常数项、项的系数或者有理项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 . 2、二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 3、二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．其中可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（即）．直线（为偶数）是图象的对称轴． （2）增减性与最大值： （中间一项或两项最大）,若为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大；若为奇数，中间两项（第和＋1项）的二项式系数最大. （3）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． （4）各二项式系数和： 奇数项（偶数项）二项式系数和：. 4、二项展开式的系数的性质： （1） （2） （3） （4） （5） 5、 二项式定理中的常用思想方法： （1）证明组合恒等式常用赋值法。 （2）求二项展开式的项（指定项，具有某种性质的项）一般用二项展开式的通项公式，通常是先根据已知条件求，再求，有时需先求，再求，才能求出。 （3）研究二项展开式的系数和、二项式系数和的问题，常通过赋值的方法整体处理，特别要注意区分二项展开式的系数和与二项展开式的二项式系数和的差别。 （4）二项式定理作为“母体”，可以生成很多的组合恒等式，在进行组合数和式研究时要注意其与二项式定理的关系，能正向、逆向地运用二项式定理。关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法。 （5）有些三项式展开式的问题，可以通过变形转化成二项式问题，这种转化体现了数学化归的思想方法，要掌握化归的基本技能。 （6）近似计算要首先观察精确度，然后选取若干项逼近近似计算的要求。用二项式定理证明整除性问题或余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”（蕴含目标意识）、“消除法”（配合整除的有关知识）来解决，还有不等式证明中目标导向与“放缩法”，这些问题的解法中体现的数学思想很重要，并且有一般的思维价值。 考点一：求展开式中的项 1、求展开式中的指定项 【例1】（1）展开式中的第四项是 ； （2）若的展开式中的系数是，则 ； （3） 已知(是正整数)的展开式中，的系数小于120，则 ； （4） 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么； （5）若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）1；（3）1；（4）；（5） 【例2】（1）的展开式中的系数是___； （2）在(1+2x－3x2)6的展开式中，x5的系数为_______． 【难度】★★ 【答案】（1）-18；（2）-168． 【解析】(2)原式=(1+3x)6(1－x)6，其中(1+3x)6展开式通项Tk+1=3kxk，(1－x)6展开式通项为Tr+1=(－x)r. 原式=(1+3x)6(1－x)6展开式的通项为(－1)r3kxk+r. 现要使k+r=5，又∵k∈{0，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，1，2，3，4，5，6}， 必须或 故x5项系数为30(－1)5+31(－1)4+32(－1)3+33(－1)4+34 (－1)+35(－1)0=－168. 2、常数项 【例1】（1）若的展开式中的常数项为，则实数 ， （2）已知的展开式的常数项是第项，则的值为 ， （3）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 （用数字作答）， （4）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）. 【难度】★★ 【答案】（1）-1；（2）8；（3）20；（4）. 【例2】的展开式中的常数项为 ， 的展开式中没有常数项，，且，则 展开式中的常数项为 （用数字作答）. 【难度】★★ 【答案】（1）-5；（2）5；（3）4246. 【解析】（2） （3） . 3、有理项 【例