5.4 数列的应用-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

5.4　数列的应用 1.了解数列在“分期还款”“政府支出的‘乘数’效应”等经济活动中的应用，重点培养数据分析核心素养. 2.能在具体问题情境中，发现并建立数列模型，解决一些实际问题，重点提升数学建模核心素养. 　分期还款与数列 1.分期还款是一种很常见的还款方式，目前常见的分期还款方式有几种？ 提示：有两种：等额本金还款法和等额本息还款法. 2.“等额本金还款法”中，每一期还款数构成的数列有什么特征？ 提示：依次构成递减的等差数列. 3.“等额本息还款法”中，每一期还款的现值构成的数列有什么特征？ 提示：依次构成递减的等比数列. 1.经济学中现值、未来值 如果记现在的A0元相当于n年后的A元，银行存款的年利率为r(r>0)且每年结算一次利息(不计利息税，下同)，则A0(1＋r)n＝A，即A0＝. 经济学上，一般称A0为A的现值，而A为A0的未来值.可以看出，现值的计算公式提供了不同时期资金换算的方法，因此在日常生活中有广泛应用. 2.“等额本金还款法”和“等额本息还款法”的定义 (1)“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.因此这种方式中， 每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率. (2)“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此，每一期所还钱数相等(假设还款期间，每期的利率不变). 3.如果向银行贷款本金A0元，分成m期偿还，并且每一期的利率为r(r>0)，设每期还款的钱数构成数列{an}. (1)若按“等额本金还款法”，则an＝＋×r. (2)若按“等额本息还款法”，则a1＝a2＝…＝an＝. 4.政府支出的“乘数”效应 经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么就会产生“乘数”效应. 1.一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　) A.190　　　B.191　　　C.192　　　D.193 解析：选C.设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192. 2.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为(　　) A.1.14a B.1.15a C.10a(1.15－1) D.11a(1.15－1) 解析：选D.注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a. 所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1). 3.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织________尺布.(不作近似计算) 解析：由题意知，每天织布的尺数构成等差数列{an}，即a1＝5，n＝30， S30＝390＝30×5＋d⇒d＝. 答案： 4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48ai＝5M，则i的值为________. 解析：由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{an}，设公差为d， 则有⇒⇒ 所以该金箠的总重量M＝10×＋×＝15. 因为48ai＝5M，所以有48＝75， 解得i＝6. 答案：6 　等差数列模型的应用(小组探究) 　(本节例1迁移)2020年全球发生了传染性极强的新冠病毒疫情，据新的资料记载，3月1日，某市新冠病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到3月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8 670人，问：3月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？求这一天的新患者人数. 【尝试解答】　由题意，3月1日到n日，每天新感染者人数构成等差数列{an}，a1＝20，d1＝50，3月n日新感染者人数an＝50n－30；从(n＋1)日到30日，每天新感染者人数构成等差数列{bn}，b1＝50n－60，d2＝－30，项数为(30－n). 依题意：＋b1×(30－n)＋×(－30