5.2.2 等差数列的前n项和-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

5.2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法，重点培养逻辑推理核心素养. 2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题，重点提升数学运算核心素养. ,　 　等差数列的前n项和 1.200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…＋100＝？10岁的高斯却迅速算出了正确答案，你知道高斯是怎样计算的吗？ 提示：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050. 2.如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面一层有4根钢管，下面每层都比上面一层多一根，最下面一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数？ 提示：把同样多的钢管倒放在一起，如图，先算出每层的根数——每层都是13根；再计算层数——共6层；所以共＝39根. 3.问题2中的算法称为“倒序相加法”，利用“倒序相加法”可以简化高斯的算法，试试看？ 提示：设S＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，所以S＝50×101＝5 050. 等差数列的前n项和公式 已知量 a1，an，n a1，d，n 求和公式 Sn＝n(a1＋an) Sn＝na1＋n(n－1)d 等差数列前n项和公式与二次函数的关系： 在等差数列{an}中，Sn＝na1＋d＝n2＋n. 令A＝，B＝a1－，得Sn＝An2＋Bn. 当A≠0(d≠0)时，Sn是关于n的二次函数，那么点(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图像上； 当A＝0(d＝0)时，Sn是关于n的一次函数(B≠0，此时a1≠0)或常函数(B＝0，此时a1＝0)，点(n，Sn)是直线y＝Bx上一系列孤立的点. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n＋1＝(2n＋1)an.(　　) (2)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列.(　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函数.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2.在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(　　) A.7　　　　B.15　　　　C.20　　　　D.25 解析：选B.S5＝＝＝＝15. 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 解析：选C.由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C. 4.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________. 解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，① S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，② 由①②联立解得a1＝1，d＝. 答案： 　等差数列前n项和的有关计算(小组探究) 　(本节例1、例2改编)在等差数列{an}中， (1)若a6＝10，S5＝5，则a8＝________； (2)若a2＋a4＝，则S5＝________. 【尝试解答】　(1)解法一　∵a6＝10，S5＝5， ∴解得 ∴a8＝a6＋2d＝16. 解法二　∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝，即3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16. (2)解法一　∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝， ∴a1＋2d＝. ∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24. 解法二　∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝， ∴S5＝＝×＝24. 答案：(1)16　(2)24 两种思想方法在等差数列前n项和公式中的应用 (1)方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解. (2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用. 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　D.8 解析：选C.等差数列{an}中，S6＝＝48， 则a1＋a6＝16＝a2＋a5， 又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故选C. 　等差数列前n项和的最值(变通探究) 　(本节例3迁移)(1)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大. (2)在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求{an}的前n项和Sn的最大值. 【尝试