5.1.2 数列中的递推-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

5.1.2　数列中的递推 1.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，重点培养数学运算核心素养. 2.理解数列{an}的前n项和与第n项an的关系，会利用这种关系解决问题，重点提升逻辑推理核心素养. 　数列的递推关系 1.给出数列{an}：1，2，4，8，16，…，你能发现该数列中从第2项起，每一项与其前一项之间的关系吗？如何用公式表示呢？ 提示：从第2项起，每一项都等于其前一项的2倍，即an＋1＝2an(n∈N*). 2.如果对于数列{bn}，令b1＝1，b2＝2，规定从第3项起每一项都等于其前面两项的和，那么b3，b4，b5分别等于多少？该数列后面的项能否确定？ 提示：b3＝3，b4＝5，b5＝8，后面各项能确定. 数列的递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 数列递推公式与通项公式的区别与联系： 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 　数列的前n项和 　若已知数列{an}的前n项和为Sn，则Sn－1(n≥2)表示什么？an与Sn，Sn－1之间的关系是什么？ 提示：Sn－1表示数列{an}的前(n－1)项的和； an＝Sn－Sn－1(n≥2). 　数列{an}中Sn与an的关系 (1)一般地，给定数列{an}，称 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an 为数列{an}的前n项和. (2)an＝ 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若数列an＝f(n)是递减数列，则函数y＝f(x)必为减函数.(　　) (2)递推公式反映了该数列相邻两项或几项之间的取值关系.(　　) (3)若数列{an}满足an＋1＝an，则该数列是常数列.(　　) (4)公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5＝(　　) A.7　　　　　B.15　　　　　C.20　　　　　D.31 解析：选D.因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝2a4＋1＝31. 3.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，则a4＝________. 解析：因为a3＝a2＋a1＝3，所以a4＝a3＋a2＝3＋2＝5. 答案：5 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2. 则{an}的通项公式为________________. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－4n＋3， 经验证a1＝1不适合an＝－4n＋3，故an＝ 答案：an＝ 由递推公式求数列的项(小组探究) 　(本节例1改编)(1)已知数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　) A.－3　　　　B.－11　　　　C.－5　　　　D.19 (2)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出. ①写出此数列的前5项； ②通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项. 【尝试解答】　(1)选D.由an＋1＝an＋2－an得an＋2＝an＋1＋an. ∴a3＝a2＋a1＝2＋5＝7.a4＝a3＋a2＝7＋5＝12.a5＝a4＋a3＝12＋7＝19. (2)①∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. ②∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 1.已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋，写出{an}的前5项并写出{an}的一个通项公式. 解：a1＝1， a2＝a1＋＝1＋＝， a3＝a2＋＝＋＝， a4＝a3＋＝＋＝， a5＝a4＋＝＋＝. 故数列的前5项分别为1，，，，. 由于1＝，＝， ＝，＝， ＝， 故