5.1.1 数列的概念-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

5.1.1　数列的概念 1．了解数列的概念及其表示和数列的分类，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，重点培养数学抽象核心素养． 2．了解数列是一种特殊函数，了解数列与函数的关系，重点培养数学抽象核心素养． 3．掌握数列的通项公式并能研究数列的性质，重点提升逻辑推理核心素养． 　数列及有关概念 观察下面几列数，它们有什么共同特征？ (1)全体自然数按从小到大排成一列数： 0，1，2，3，4，…. (2)正整数1，2，3，4，5的倒数排成一列数： 1，，，，. (3)π精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排成一列数： 3，3.1，3.14，3.141，…. (4)无穷多个1排成一列数： 1，1，1，1，1，…. (5)当n分别取1，2，3，4，5，…时，(－1)n的值排成一列数： －1，1，－1，1，－1，…. 提示：这五列数的共同特征：都是按照一定的顺序排列的一列数． 1．数列的概念 (1)定义：按照一定次序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数都称为这个数列的项． (3)项数：组成数列的数的个数称为数列的项数． 2．数列的分类 一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列． 数列与集合的关系： (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，而数列具有确定性、有序性、可重复性； (2)集合中的元素可以是数，也可以是点、方程以及其他事物等，但数列中的每一项必须是数． 　数列的通项 观察数列，，，，，…，判断是不是这个数列中的项？如果是的话，是第几项？怎样表示这个数列的第n项呢？这个数列中的每一项与其所对应的项的序号之间具有怎样的关系呢？ 提示：是这个数列中的项；是第8项；这个数列的第n项是；这个数列中的每一项的值恰好等于以为底数，以项的序号为指数的幂的值． 1．数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…， 其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的通项．此时，一般将整个数列简记为{an}，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母． 2．数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用 an＝f(n) 来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式． 关于数列通项公式的说明： (1)并非每一个数列都有通项公式； (2)数列通项公式的形式不是唯一的； (3)数列的通项公式可以用分段函数表示； (4)数列的通项公式实际就是相应函数的解析式． 　数列与函数的关系 　给出数列{an}：1，，，，…，以及函数f(x)＝，那么数列和函数f(x)＝之间有什么区别与联系呢？ 提示：数列的各项可看作是当函数f(x)＝的自变量从小到大依次取正整数时所对应的函数值．数列是特殊的函数，但二者的定义域不同．从单调性上，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数；数列{an}，an＝，对任意n∈N*，都有an＋1<an. 数列与函数的关系 (1)数列{an}总可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．这也就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示． (2)我们也可以用类似函数性质的术语来描述数列．①从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列；②从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列；③各项都相等的数列称为常数数列(简称为常数列)． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列中的项互换次序后还是原来的数列．(　　) (2)所有的数列可分为递增数列和递减数列两类．(　　) (3){an}与an的意义一样，都表示数列．(　　) (4)利用数列的通项公式可以求出数列的任何一项．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知数列{an}为1，0，1，0，…，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的有(　　) (1)an＝[1＋(－1)n＋1]；(2)an＝sin2； (3)an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)； (4)an＝；(5)an＝ A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 解析：选D.对于(3)，将n＝3代入，则a3＝3≠1，易知(3)不是通项公式．根据三角中的半角公式可知(2)和(4)实质是一样的，都可作为数列{an}的一个通项公式．数列1，0，1，0，…的通项公式可猜想为an＝＋×(－1)n＋1，即为(1)的形式．(5)是分段表示的，也为数列的一个通项公式．故选D. 3．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：选C.观