第五章 章末整合提升-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

章末整合提升 本章我们学习了特殊函数——数列，首先学习了数列的有关概念，然后学习了两类数列模型：等差与等比数列，最后学习了与自然数有关的命题的证法数学归纳.依据知识之间的联系，完成如下的知识结构图： 答案：①解析法　②an＝a1＋(n－1)d　③Sn＝＝na1＋n(n－1)d　④an＝a1qn－1　⑤当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝　⑥验n＝n0时，命题成立　⑦n＝k(k≥n0)命题成立⇒n＝k＋1时命题也成立 类型1　等差、等比数列的基本运算 1.等差与等比数列的通项公式、中项公式 数列类型 通项公式 中项公式 等差数列 an＝a1＋(n－1)d A＝ 等比数列 an＝a1qn－1 G＝± 2.等差与等比数列的前n项和公式 前n项和公式 等差数列 等比数列 公式一 Sn＝ Sn＝ 公式二 Sn＝na1＋d Sn＝ 3.等差与等比数列的常用性质 性质 等差数列 等比数列 ① an＝am＋(n－m)d或 d＝(n≠m) an＝amqn－m或qn－m＝(n，m∈N*) ② 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq；特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a ③ 设Sn是等差数列{an}的前n项和，则 ①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列； ②也是一个等差数列 设Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k满足(S2k－Sk)2＝Sk·(S3k－S2k) 4.数列的基本运算以小题出现比较多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小. 　等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，已知S3＝14，S6＝126. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn. 【尝试解答】　(1)易知q≠1，由已知得 解得a1＝q＝2.所以an＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b4＝8，b16＝32，设{bn}的公差为d，则有解得 所以bn＝b1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n. 且数列{bn}的前n项和Tn＝nb1＋d ＝2n＋×2＝n2＋n. 等差、等比数列基本量的计算方法 在等差(等比)数列的通项公式和前n项和公式中含有五个基本量，即a1，d(q)，an，n，Sn.知道其中的三个，可以通过列方程(组)求其余两个，即“知三求二”.在解决等差(等比)数列问题中，往往是化为基本量的运算，有时也可灵活使用等差(等比)数列的性质解题. 1.已知等比数列{an}所有项均为正数，首项a1＝1，且a4，3a3，a5成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列{an＋1－λan}的前n项和为Sn，若S6＝63，求实数λ的值. 解：(1)设数列{an}的公比为q>0，由条件q3，3q2，q4成等差数列，所以6q2＝q3＋q4，解得q＝－3或q＝2，因为q>0，所以取q＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝1×2n－1＝2n－1，所以an＝2n－1(n∈N*). (2)记bn＝an＋1－λan，则bn＝2n－λ·2n－1， 若λ＝2，bn＝0，Sn＝0不符合条件； 若λ≠2，则＝2，数列{bn}为等比数列，首项为2－λ，公比为2，此时Sn＝(1－2n)＝(2－λ)(2n－1)， 又S6＝63，所以2－λ＝1，所以λ＝1. 类型2　等差、等比数列的判断与证明 等差(比)数列的判断与证明是本章的重点也是近几年高考的热点.一般已知数列的通项公式主要利用定义法判断已知数列的递推公式，需要构造新数列，判断等差(比)数列，进而求数列通项公式，能力要求较高. 　设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. (1)求a4的值； (2)证明：为等比数列； (3)求数列{an}的通项公式. 【尝试解答】　(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1， 即4＋5＝8＋1， 解得：a4＝. (2)证明：因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)， 所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)， 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)， 因为4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2， 所以4an＋2＋an＝4an＋1， 因为＝＝＝＝， 所以数列是以a2－a1＝1为首项，公比为的等比数列. (3)由(2)知：数