第六章 章末整合提升-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

章末整合提升 类型1　曲线的切线问题 1.近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般难度较小. 2.利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点. 　(1)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________. (2)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 【尝试解答】　(1)y′＝－5ex， 则k＝y′|x＝0＝－5×e0＝－5， 所以所求切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. (2)∵y′＝1＋，∴k＝y′|x＝1＝2， ∴切线方程为y＝2x－1. 由y＝2x－1与y＝ax2＋(a＋2)x＋1联立，得ax2＋ax＋2＝0，再由相切知Δ＝a2－8a＝0，解得a＝0或a＝8. ∵当a＝0时，y＝ax2＋(a＋2)x＋1并非曲线而是直线，∴a＝0舍去，故a＝8. 答案：(1)5x＋y＋2＝0　(2)8 利用导数的几何意义的解题策略 1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点. 2.围绕切点有三个等量关系：一是切点在曲线上；二是切点在切线上；三是在切点处的导数等于切线的斜率.这三个等量关系在求解参数问题中经常用到. 1.已知函数y＝x3－x，则过点(1，0)的切线方程为________. 解析：①函数y＝x3－x的图像在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2， 所以函数的图像在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2. ②设函数y＝x3－x图像上切点的坐标为P(x0，x－x0)， 则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x－1， 切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)， 由于切线经过点(1，0)， 所以0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)， 整理，得2x－3x＋1＝0，即2(x－1)－3(x－1)＝0， 所以2(x0－1)(x＋x0＋1)－3(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得x0＝1或x0＝－. 所以P(1，0)或P， 所以切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋. 答案：y＝2x－2或y＝－x＋ 类型2　利用导数研究函数的性质 1.导数与函数单调性、极值的关系 (1)f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件. (2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件. 2.利用导数求函数极值应注意三点 (1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则； (2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点； (3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论. 角度1　利用导数研究函数的单调性 　已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x，讨论f(x)的单调性. 【尝试解答】　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝. 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0. 故f(x)在上单调递增，在上单调递减. 借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex等线性函数(或复合函数)的单调性是近几年高考的一个重点.其特点是导函数f′(x)的符号一般由二次函数来确定，经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，集分类讨论、数形结合于一体. 角度2　利用导数研究函数的极值和最值 　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R). (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值. 【尝试解答】　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0知： ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x