6.3 利用导数解决实际问题-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

6.3　利用导数解决实际问题 能够利用导数解决利润最大、效率最高、用料最省等实际生活中的优化问题.体会导数在解决实际问题中的作用.重点提升数学建模、数学运算核心素养. 　利用导数解决实际问题 1.在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ 提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值. 2.已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为多少万件？ 提示：∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)， 令y′＝0，得x＝9.∴x∈(0，9)时，y′>0； x∈(9，＋∞)时，y′<0.故y先增后减， ∴x＝9时函数取最大值.即厂家获取最大年利润的年产量为9万件. 1.生活中最优化问题 在生活中，人们经常会遇到最优化的问题.例如，在铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少？在制作容器时，怎样使得用料最少？经济活动中，怎样使得经营成本最小？等等.这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都称为最优化问题. 2.利用导数解决生活中优化问题的基本思路 解应用题时，首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题.利用数学知识建立相应的数学模型，再对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下： 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)生活中的实际优化问题必须利用导数解决.(　　) (2)在解决实际优化问题时，若函数只有一个极值点，则极值点就是最值点.(　　) (3)求解实际优化问题时，必须考虑变量的实际意义，从而确定其取值范围.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系为y＝－x2＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　) A.13万件　　　　　　　　 B.11万件 C.9万件 D.7万件 解析：选C.y′＝－x2＋81， 令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去). 当0<x<9时，y′>0；当x>9时，y′<0. 所以当x＝9时，y取得最大值. 3.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x h原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是________℃/h. 解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1. 答案：－1 4.如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________，________. 解析： 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－. 令L′＝0得x＝±16. ∵x>0，∴x＝16，当x＝16时，Lmin＝L极小值＝64， ∴堆料场的长为＝32(米). 答案：32米　16米 　面积、体积有关的最值问题(小组探究) 　(本节例2迁移) 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA∥BC，AB＝BC＝2OA＝4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大用地面积.(精确到0.1 km2) 【尝试解答】　以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，以O点到BC的垂线为x轴建立直角坐标系(图略)，设矩形落在曲线段OC上的一个顶点为P，抛物线方程为y2＝2px(p>0). 把点C(4，2)代入y2＝2px(p>0)，得4＝8p，得p＝， ∴y2＝x(0≤x≤4，0≤y≤2).令P(t2，t)(0≤t<2)， 记工业园区的用地面积为S km2， 则S＝(4－t2)(t＋2)＝－t3－2t2＋4t＋8，0≤t<2. ∴S′＝－3t2－4t＋4＝－(t＋2)(3t－2). 令S′＝0，得t＝或t＝－2(舍去). 当t∈时，S′>0，S是关于t的增函数； 当t∈时，S′<0，S是关于t的减函数； ∴当t＝，即点P的坐标为时，S取得最大值，且Smax＝≈9.5，此时矩形的长为km，宽为km.即把工业园区规划成长为 km，宽为 km的矩形时，工业园区的用地面积最大，最大用地