6.2.2 导数与函数的极值、最值-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

6.2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　函数的导数与极值 1.了解函数极值点、极值的概念，理解函数取得极值的必要条件，重点培养数学抽象核心素养. 2.掌握求可导函数极值的步骤，会利用导数求函数的极大值、极小值，重点提升数学运算核心素养. 　函数的导数与极值 函数y＝f(x)的图像如图所示，据此回答下列问题： (1)函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？ 提示：函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小. (2)f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？ 提示：f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0. (3)函数在x＝b点处的情况呢？ 提示：函数在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0. 1.极值和极值点的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； (2)f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值. 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小. 2.函数的导数与极值 一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有 f′(x0)＝0. 1.函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的. 2.极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点. 3.极大值与极小值没有必然的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且在某一点的极小值可能大于另一点的极大值. 4.f′(x)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，不是充分条件. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导数为0的点一定是极值点.(　　) (2)函数的极大值一定大于极小值.(　　) (3)在定义域上的单调函数一定没有极值.(　　) (4)对于任意可导函数，极值点处的导数值一定等于0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.函数y＝x3＋1的极大值是(　　) A.1　　　　B.0　　　　C.2　　　　D.不存在 解析：选D.因为y′＝3x2≥0在R上恒成立， 所以函数y＝x3＋1在R上是单调增函数， 所以函数y＝x3＋1无极值. 3.函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B.f′(x0)＝0⇒/ y＝f(x)在x0处有极值，但y＝f(x)在x0处有极值⇒f′(x0)＝0. 4.若函数f(x)＝x3－2mx2＋m2x在x＝1处取得极小值，则实数m＝________. 解析：由题意，函数求导可得f′(x)＝(x－m)2＋2x(x－m)， 因为在x＝1处取得极小值， 所以f′(1)＝0，即(1－m)2＋2(1－m)＝0， 所以(1－m)(3－m)＝0，所以m＝1或m＝3. ①当m＝1时，f′(x)＝(x－1)2＋2x(x－1)＝(x－1)(3x－1)， 当<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，此时在x＝1处取得极小值，满足题意； ②当m＝3时，f′(x)＝(x－3)2＋2x(x－3)＝(x－3)(3x－3)， 当x<1时，f′(x)>0，当1<x<3时，f′(x)<0， 此时在x＝1处取得极大值，不满足题意，舍去. 综上：m＝1. 答案：1 　求函数的极值(小组探究) 　(1)(本节例1、例2迁移)设函数f(x)＝xex，则(　　) A.x＝1为f(x)的极大值点 B.x＝1为f(x)的极小值点 C.x＝－1为f(x)的极大值点 D.x＝－1为f(x)的极小值点 (2)求函数y＝3x3－x＋1的极值. 【尝试解答】　(1)选D.求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1.当x<－1时f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以x＝－1是函数f(x)的极小值点. (2)y′＝9x2－1，令y′＝0，解得x1＝，x2＝－. 当x变化时，y′和y的变化情况如下表： x － y′ ＋ 0 － 0 ＋ y 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此，当x＝－时，y有极大值，并且y极大值＝. 而当x＝时，y有极小值，并且y极小值＝. 求