6.2.1 导数与函数的单调性-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

6.2.1　导数与函数的单调性 1.结合实例，直观探究并掌握导数与函数单调性的关系，重点培养直观想象核心素养. 2.掌握利用导数研究函数单调性的方法，会求函数的单调区间，重点提升数学运算核心素养. 　导数与函数的单调性 1.观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别. 提示：(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0； (2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0. 2.观察下面四个函数的图像，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？ 提示：(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数； (2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数； 在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数； (3)在区间(－∞，＋∞) 内，y′＝3x2≥0，y是增函数； (4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数. 3.在区间(a，b)上，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间是增函数，反过来也成立吗？ 提示：不一定成立.例如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)>0是f(x)在该区间上为增函数的充分不必要条件. 导数与函数的单调性 (1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示； (2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示. 1.函数的单调性与其导函数值正负的关系的两点说明： (1)充分条件：注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件. (2)恒成立：在区间(a，b)内可导的函数f(x)在区间(a，b)上递增(或递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(x∈(a，b))恒成立且f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0. 2.函数图像的变化趋势与导数值大小的关系： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图像 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大. 解析：(1)错误.如函数f(x)＝－在定义域上都有f′(x)＝>0，但函数f(x)在定义域上不是单调递增的. (2)错误.函数在某一点的导数的绝对值越大，函数在该点处的切线斜率的绝对值越大，切线越“陡峭”. (3)正确.函数变化越快，对应的导数的绝对值越大. 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.函数y＝x3＋x的单调递增区间为(　　) A.(0，＋∞)　　　　　　　　 B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－∞，＋∞) 解析：选D.因为y′＝3x2＋1>0恒成立， 所以函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数. 3.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：选C.y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥. 4.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________. 解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f′(x)>0，解得x>2. 答案：(2，＋∞) 　函数单调性的判断与求解(变通探究) 　(本节例1、例2、例3拓展)(1)函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上(　　) A.是增函数 B.是减函数 C.在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减 D.在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 (2)求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间. 【尝试解答】　(1)选A.f′(x)＝2－cos x>0在(－∞，＋∞)上恒成立.所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数. (2)由题设知函数f(x)的定义域为(0，＋∞). f′(x)＝4x－＝， 由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，得0<x<， 所以函数f(x)＝2x2－ln x的