6.1.4 求导法则及其应用-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

6.1.4　求导法则及其应用 1.掌握导数的运算法则，会求解函数的导数，重点培养数学运算核心素养. 2.理解复合函数的求导法则，会求复合函数的导数，重点提升逻辑推理核心素养. 　导数的运算法则 1.利用导数的定义分别求y＝5＋x，y＝5x，y＝的导数. 提示：(1)＝＝1， y′＝ ＝ 1＝1.故y＝5＋x的导数为1. (2)＝＝5， y′＝ ＝ 5＝5.故y＝5x的导数为5. (3)＝＝， y′＝ ＝ ＝－. 故y＝的导数为－. 2.由问题1的结果你发现了什么？ 提示：(1)(5＋x)′＝5′＋x′＝0＋1＝1. (2)(5x)′＝5′·x＋x′·5＝5. (3)′＝＝＝－. 导数的运算法则 设f(x)，g(x)都可导. (1)函数和差的导数，[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)函数积的导数，[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (3)函数商的导数，′＝_(g(x)≠0). 推论：常数与函数的积的导数，[cf(x)]′＝cf′(x). 两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形： [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x). 　简单复合函数的求导法则 1.y＝ln(x＋2)的结构特征是什么？ 提示：令u＝x＋2，则y＝ln u. 因此y＝ln(x＋2)可看成是由u＝x＋2和y＝ln u复合而成的. 2.如何求y＝ln(x＋2)的导数？ 提示：由y＝ln(x＋2)的结构特征，可考虑由外向内求导数. 1.复合函数的定义 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成 x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称 y＝h(x)＝f(g(x)) 为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量. 2.复合函数的求导法则 一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为 y＝h(x)＝f(g(x))， 则可以证明，复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为 h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x). 这一结论也可以表示为 yx′＝yu′ux′. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(　　) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x.(　　) 解析：(1)错误，f(x)＝x2＋c(c为常数). (2)正确，f(x)＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1). (3)错误，f′(x)＝cos(－x)(－x)′＝－cos x. 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2.函数f(x)＝4x2的导函数是(　　) A.f′(x)＝2x　　　　　　 B.f′(x)＝4x C.f′(x)＝8x D.f′(x)＝16x 解析：选C.因为f(x)＝4x2，所以f′(x)＝8x. 3.设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：选D.因为设f(x)＝ax3＋3x2＋2，所以f′(x)＝3ax2＋6x，若f′(－1)＝4，则3a－6＝4，解得a＝. 4.f′(x)是函数f(x)＝ln(2x＋3)的导函数，则f′(－1)的值为(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.4 解析：选B.因为f′(x)是函数f(x)＝ln(2x＋3)的导函数，f′(x)＝， 所以f′(－1)＝2. 　利用运算法则求函数的导数(小组探究) 　(本节例1迁移)求下列函数的导数： (1)y＝x·tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝；(4)y＝xsin x－； (5)y＝； (6)y＝x－sin cos . 【尝试解答】　(1)y′＝(x·tan x)′＝′ ＝ ＝ ＝. (2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. (3)y′＝ ＝. (4)y′＝(xsin x)′－′＝sin x＋xcos x－. (5)∵y＝＝x2＋x3＋x4， ∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3. (6)先使用三角公式进行化简，得 y＝x－sin cos ＝x－sin x， ∴y′＝′＝x′－(sin x)′＝1－cos x. 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综