6.1.3 基本初等函数的导数-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

6.1.3　基本初等函数的导数 1.理解导函数的意义，并能利用导数的定义求常数与幂函数的导数，重点培养数学抽象核心素养. 2.熟练掌握基本初等函数的求导公式，并能进行简单应用，重点提升数学运算核心素养. 　基本初等函数的导数 1.利用y＝2x，y＝3x，y＝－4x的图像分别确定函数的导数是什么？ 提示：利用导数的几何意义结合图像可得y＝2x，y＝3x，y＝－4x的导数分别是y′＝2，y′＝3，y′＝－4. 2.导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. (1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？ 提示：(1)若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. (2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 1.导函数的定义 一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即 f′(x)＝y′＝yx′＝_. f′(x)与f′(x0)的关系： (1)区别：(1)f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，Δx无关；(2)f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关. (2)联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值. 2.基本初等函数的求导公式 原函数 文字语言描述 符号语言表示 f(x)＝c (c为常数) 常数的导数为0 f′(x)＝0 f(x)＝xα (α∈Q*) 幂函数的导数等于幂指数与原幂函数(指数少1)的积 f′(x)＝αxα－1 f(x)＝ax 指数函数的导数等于自身与ln a的积 f′(x)＝axln_a f(x)＝ex 以e为底数的指数函数的导数不变 f′(x)＝ex f(x)＝logax 对数函数的导数为真数的倒数与的积 f′(x)＝ f(x)＝ln x 自然对数的导数是真数的倒数 f′(x)＝ f(x)＝sin x 正弦函数的导数为余弦函数 f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x 余弦函数的导数为负的正弦函数 f′(x)＝－sin_x 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　) (2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x.(　　) (3)若f(x)＝x，则f′(x)＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.f(x)＝x2，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　) A.2　　　　B.1　　　　C.－2　　　　D.－1 解析：选B.f′(x)＝(x2)′＝2x， 又f′(x0)＝2， 所以2x0＝2，x0＝1. 3.余弦曲线y＝cos x在(0，1)处的切线的斜率为(　　) A.1 B.0 C. D.－1 解析：选B.y′＝－sin x，斜率k＝－sin 0＝0. 4.y＝x3在(0，0)处的切线方程为________. 解析：y′＝3x2 ∴在原点处切线的斜率k＝f′(0)＝0. 故切线方程为y＝0. 答案：y＝0 　利用公式求函数的导数(小组探究) 　(本节例1、例2、例3综合)求下列函数的导数： (1)y＝x7；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝2sincos；(5)y＝logx2－logx. 【尝试解答】　(1)y′＝7x7－1＝7x6. (2)∵y＝＝x－2，∴y′＝－2x－2－1＝－2x－3. (3)∵y＝＝x，∴y′＝x－. (4)∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x. (5)∵y＝logx2－logx＝logx， ∴y′＝(logx)′＝. 用公式求函数导数的方法 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. (2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝可以写成y＝x－2，y＝＝x等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 　　 1.求下列函数的导数： (1)y＝lg 4；(2)y＝2x；(3)y＝；(4)y＝2cos2－1. 解：(1)y′＝(lg 4)′＝0. (2)y′＝(2x)′＝2