6.1.2 导数及其几何意义-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

6.1.2　导数及其几何意义 1.理解瞬时变化率的意义，理解导数的概念，会求函数在某点处的导数，重点培养数学抽象核心素养. 2.理解曲线切线的概念，掌握导数的几何意义并会灵活应用，重点提升直观想象、数学运算核心素养. 　瞬时变化率与导数 已知函数f(x)＝5x2. (1)求f(x)在[1，1＋Δx]上的平均变化率. 提示：＝＝10＋5Δx. (2)当Δx趋向于0时，平均变化率无限接近于一个常数，求这个常数？ 提示：当Δx→0时，＝10＋5Δx无限接近于常数10. 1.瞬时变化率与导数的意义 一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率 ＝ 无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.此时，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0)＝k. 为了简单起见，“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为 当Δx→0时，→k， 即f′(x0)＝. 2.瞬时变化率的实际意义 当自变量在x＝x0处的改变量Δx很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx. 即f(x0＋Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx⇔ f(x0＋Δx)≈f(x0)＋f′(x0)Δx.即求得x0附近函数的近似值. 1.平均变化率与瞬时变化率的关系： (1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； (2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值. 2.对函数f(x)在x0处导数的两点说明： (1)当Δx≠0时，比值的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数. (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关. 3.导数的物理意义： 物体的位移S与时间t的关系是S＝S(t). 那么物体在t＝t0时的瞬时速度就是S′(t0). 　导数的几何意义 1. 观察图形当P1，P2，P3，…，Pn的位置逐渐靠近点P时，割线PPn的位置与PT的位置有什么位置关系？ 提示：割线PPn逐渐接近PT. 2.设点P(x0，y0)，Pn(xn，yn)，则kPPn是多少？你能知道kPT是多少吗？ 提示：根据两点连线的斜率公式知：kPPn＝＝，kPT的值不知道，但当Pn接近于P点时，割线PPn接近PT，可以用kPPn近似地表示kPT. 1.切线的定义 一般地，如图所示，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的切线. 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝＝f′(x0).相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线的区别： 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率.(　　) (2)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关，只与x0有关.(　　) (3)曲线的切线与曲线只有一个公共点.(　　) (4)曲线y＝f(x)的过点(x1，y1)的切线的斜率为f′(x1).(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝(　　) A.Δx－3　　　　　　　　 B.(Δx)2－3Δx C.－3 D.0 解析：选C.f′(0)＝ ＝ ＝ (Δx－3)＝－3. 3.如果质点A的运动满足函数：s(t)＝－，则在t＝3秒时的瞬时速度为(　　) A.－　　　　B.　　　　C.－　　　　D. 解析：选D.Δs＝s(3＋Δt)－s(3) ＝－＋＝，＝， 在t＝3秒时的瞬时速度为 ＝ ＝. 4.若函数f(x)在某点处的切线方程为x－y＋1＝0，则函数在该点处的导数值为________. 解析：由题意，函数在该点处的切线斜率k＝1， 故在该点处的导数值为1. 答案：1 　求函数在某点处的导数