6.1.1 函数的平均变化率-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

6.1.1　函数的平均变化率 1.结合实例理解函数平均变化率的意义，重点培养数学抽象核心素养. 2.理解平均变化率的实际意义、几何意义、物理意义，会求平均变化率与平均速度，重点提升数学运算核心素养. 　函数的平均变化率 1.写出气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系式.然后将球半径r表示为球体积V的函数. 提示：体积V与半径r之间的关系式为V(r)＝πr3.将半径r表示为体积V的函数为r(V)＝. 2.当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了多少？此时气球的平均膨胀率是多少？当空气容量V从1 L增加到2 L呢？ 提示：当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L). 当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm). 气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L). 3.观察函数y＝f(x)的图像，平均变化率＝的几何意义是什么？ 提示：直线AB的斜率. 1.函数的平均变化率的意义 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量；称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量；称 ＝ 为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以x1，x2为端点的闭区间”，在x1<x2时指的是[x1，x2]，而x1>x2时指的是[x2，x1]. 上述Δx在x1<x2时是大于0的，在x1>x2时是小于0的，而且x2总可以用x1和Δx表示，即x2＝x1＋Δx，此时“以x1，x2为端点的闭区间”也可表述为“以x1，x1＋Δx为端点的闭区间”，而且f(x2)＝f(x1＋Δx)，因此平均变化率 ＝. 2.平均变化率的实际意义 在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位.因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加h个单位. 3.平均变化率的几何意义 函数在一个区间内的平均变化率等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率.因此，平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”. Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，它表示自变量的改变量，可以为正，也可以为负，但不能等于零；Δy是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以等于零，若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2). 4.平均变化率的物理意义 平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢.如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为 (m/s). 这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘.(　　) (2)Δx可以是任意实数.(　　) (3)Δy可以是任意实数.(　　) (4)函数的平均变化率只能说明函数在x1变化到x2时的平均变化情况.(　　) 解析：由平均变化率的定义可知：Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘，所以(1)正确；Δx表示两个不同自变量的差值，所以它可以是正值也可以是负值，但不能为0，所以(2)错误；而Δy是当自变量取两个不同值时的相应两个函数值的差，因此它可正、可负还可以等于0，所以(3)正确；显然(4)也正确. 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　) A.在[x0，x1]上的平均变化率　　 B.在x0处的变化率 C.在x1处的变化率 D.以上都不对 解析：选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在[x0，x1]上的平均变化率. 3.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间[3，3＋Δt]中，相应的平均速度等于(　　) A.6＋Δt B.6＋Δt＋ C.3＋Δt D.9＋Δt 解析：选A.v＝＝ ＝＝6＋Δt. 4.已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy＝________. 解析：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋1－(x2＋1)＝2xΔx＋(Δx)2＝2×2×0.1＋(0.1)2＝0.41. 答案：0.41 　求函数的平均变化率(小组探究) 　(本节例1迁移)(1)如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　)