5.5 数学归纳法-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册同步核心辅导与测评教师用书word（人教B版）

5.5　数学归纳法 了解数学归纳法的原理，掌握利用数学归纳法证明问题的一般方法和步骤，重点提升逻辑推理核心素养. 　数学归纳法 1.有一串鞭炮相互连接在一起，点着第1个后，整串鞭炮便一个接着一个响了起来，直到最后一个.你知道为什么能响到最后一个？ 提示：因为这些鞭炮之间相互连接着. 2.你认为多米诺骨牌游戏中骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么条件？ 提示：多米诺骨牌所有的骨牌都倒下靠的是两个条件：(1)第一块骨牌被推倒.(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础. 数学归纳法 一个与自然数有关的命题，如果 (ⅰ)当n＝n0时，命题成立； (ⅱ)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立. 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立. 数学归纳法证题的三个关键点： (1)验证是基础 由数学归纳法的原理可知：证明的第一个步骤是找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，但这个自然数并不一定都是“1”，因此，“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点. (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法. 1.思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，n的第一个可取值都是1.(　　) (2)与自然数n有关的问题只能用数学归纳法来进行证明.(　　) (3)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设.(　　) (4)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边的项是(　　) A.1　　　　　　　　　　　 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3 解析：选C.因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2. 3.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　) A.假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 B.假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 C.假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立 D.假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 解析：选C.因为n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1. 4.用数学归纳法证明“＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是(　　) A. B.＋ C.＋－ D.＋－－ 解析：选C.由n＝k时，左边为＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，所以增加项为两式作差得：＋－，选C. 　用数学归纳法证等式(小组探究) 　(本节例1改编)用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 【尝试解答】　证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋. 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立. 由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立. 数学归纳法证明等式的解题策略 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形. 1.用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*). 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1， 左边＝右边，等式成立. (2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·. 那么，当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝ (－1)k－1·＋