第2讲　数列通项与求和（讲·）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）

第2讲　数列通项与求和（讲·教师版） 高考定位 1.求数列的通项公式、数列求和常与数列的综合应用一起考查，多以解答题的形式出现，难度中等. 2.数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行不等式的证明，难度中等偏上． 核心整合 1．求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如an＋1＝an＋C(C为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如an＋1＝kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)累加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通项公式． (3)累乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通项公式． (4)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，构造新数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下来用待定系数法求解． 2．常用求和方法 (1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn. (2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法．裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列． (3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和． 真题体验 1．（2021•浙江省高考）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以，． 由 ，即 根据累加法可得，当且仅当时取等号， . 由累乘法可得，当且仅当时取等号， 由裂项求和法得： 所以，即． 故选A． 2.(2020·全国卷Ⅱ理科·T12) 0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)= aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是 (　　) A.11010… B.11011… C.10001… D.11001… 【答案】C 【解析】由ai+m=ai知,序列ai的周期为m,由已知,m=5, C(k)=aiai+k(k=1,2,3,4),对于选项A, C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+0)=≤, C(2)=aiai+2=(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7) =(0+1+0+1+0)=,不满足;对于选项B, C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6) =(1+0+0+1+1)=,不满足;对于选项D, C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+1)=,不满足. 3.(2019·浙江高考·T10)设a,b∈R,数列{an}中a1=a,an+1=+b,n∈N*,则 (　　) A.当b=时,a10>10 B.当b=时,a10>10 C.当b=-2时,a10>10 D.当b=-4时,a10>10 【答案】A. 【解析】由an+1=+b得, an+1-an=+b-an=(an-)2+(b-),当b=时,an+1-an=(an-)2+>0, 数列{an}是递增数列,a2=+≥,a3=+≥()2+=,a4=+≥()2+=>1,a5=+>12+=, a6=+>()2+=,a7=+>()2+=>8,a8=+>82+>10, 所以:a10>a9>a8>10. 4.（2021•全国新高考Ⅰ卷） 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；