第1讲 等差数列与等比数列（讲·）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）

第1讲 等差数列与等比数列（讲·教师版） 高考定位 1.等差数列与等比数列是高考主要考查的两种基本数列，其中对基本量和性质的考查是高考考查的热点，经常以客观题的形式呈现，难度中等，有时也出现在第12题或第16题位置上，难度偏大． 2．对于等差数列与等比数列的综合考查主要以求通项、求和为主．有时也与数学文化、不等式、函数或概率的知识进行交汇创新考查． 核心整合 1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1，an＝amqn－m. (3)等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d； (4)等比数列的求和公式：Sn＝＝. 2.等差数列、等比数列常用性质 （1）“下标和”与“片段和”的性质 等差数列{an} 等比数列{an} 性 质 (1)若m，n，p，q，∈N*，且m＋n＝p＋q＝， 则am＋an＝ap＋aq＝； (2)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 (1)若m，n，p，q，∈N*，且m＋n＝p＋q＝， 则am·an＝ap·aq＝； (2)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) （2）等差数列{an}中利用中项求和： (1)若n为奇数，则Sn＝na. (2)若n为偶数，则Sn＝(a＋a＋1)． （3）在等差数列中，当项数为偶数2n时，有S偶－S奇＝nd，＝；当项数为奇数2n－1时，有S奇－S偶＝an，＝. （4）在等比数列中，当项数为偶数2n时，＝q. 3.等差（等比）数列的判定方法 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1·qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1 (n≥2) a＝an－1an＋1 (n≥2，an≠0) 前n项和法 Sn＝an2＋bn (a，b为常数) Sn＝kqn－k (k≠0，q≠0,1) 真题体验 1．（2021•北京高考）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件可得，则，因此.故选B. 2.【2021•全国高考甲卷文科】记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列 ∴，∴，∴.故选A. 3.（2021•北京高考）数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，，所以n的最大值为11.故选C. 2.(2020·全国卷Ⅱ理科·T4) 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) (　　) A.3 699块 B.3 474块 C. 3 402块 D.3 339块 【答案】C. 【解析】设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列,且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且-=n2d, 由题意得9n2=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=27a1+×9=3 402(块). 4.(2020·北京高考·T8)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn} (　　) A.有最大项,有最小项　　　　　B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项 【答案】B. 【解析】设公差为d,因为a1=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,…,a5<0,a6,…>0,所以T1<0,T2>0,T3<0,T4>0,T5<0,以后都小于0,且越来越小. 5.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　.  【答案】3n2-2n 【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,…,所以数列为1,7,13,19,…,即an=1+6(n-1)=6n-5,所以数列的前n项和为=3n2-2n. 6.(2020·全国卷