第58讲 不等式的证明（练） — 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）

第58讲 不等式的证明 【练基础】 1．若a>0，b>0，且＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由． 2．设不等式|2x－1|<1的解集为M. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． 3．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋4y＋≤＋＋xy； (2)设1<a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 4．设不等式||x＋1|－|x－1||<2的解集为A. (1)求集合A； (2)若a，b，c∈A，求证：>1. 5．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝3.证明： (1)a2＋b2＋c2≥3； (2)＋＋≥3. 6．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明： (1)若ab>cd，则＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件． 7．(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a>0)，若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}，求a的值； (2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥. 8．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|a－x|＋|x＋b|＋c. (1)当a＝b＝c＝2时，求不等式f(x)<8的解集； (2)若函数f(x)的最小值为1，求证：a2＋b2＋c2≥. 【练提升】 1．已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|. (1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M； (2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab. 2．已知a，b为正实数． (1)求证：＋≥a＋b； (2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0<x<1)的最小值． 3．已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集． (1)求M； (2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|. 4．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|. (1)解关于x的不等式f(x)>6； (2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且＋＋＝，求证：a＋2b＋3c≥9. 5．设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1. 求证：(1)a＋b＋c≥； (2) ＋ ＋ ≥(＋＋)． 6．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1. 证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 7．已知a>0，b>0，函数f(x)＝|2x＋a|＋2＋1的最小值为2. (1)求a＋b的值； (2)求证：a＋log3≥3－b. 9．已知a>0，b>0，且a2＋b2＝2. (1)若＋≥|2x－1|－|x－1|恒成立，求x的取值范围； (2)证明：(a5＋b5)≥4. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第58讲 不等式的证明 【练基础】 1．若a>0，b>0，且＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由． 【解析】(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立． 故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立． 所以a3＋b3的最小值为4. (2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4. 由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6. 2．设不等式|2x－1|<1的解集为M. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． 【解析】(1)由|2x－1|<1，得－1<2x－1<1， 解得0<x<1，所以M＝{x|0<x<1}． (2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1,0<b<1. 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0， 故ab＋1>a＋b. 3．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋4y＋≤＋＋xy； (2)设1<a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 证明：(1)由于x≥1，y≥1， 所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 将上式的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)·(x－1)(y－1)≥0. 因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 从而所要证明的不等式成立． (2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. 于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x