第58讲 不等式的证明（讲） — 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）

第58讲 不等式的证明 【课标解读】 了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法，并能应用它们证明一些简单的不等式． 【备考策略】 从近三年高考情况来看，本讲是高考命题的一个热点．预测2022年将会考查：①与基本不等式结合证明不等式；②与恒成立、探索性问题结合，题型为解答题，属中档题型. 【核心知识】 1．基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c 时，等号成立． 2．比较法 (1)作差法的依据是：a－b＞0⇔a＞b. (2)作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证≥1. 3．综合法与分析法 (1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立． (2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立． 4．反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立． 5．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的． 6．柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． (2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则≥，当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立． 【高频考点】 高频考点一　分析法、综合法证明不等式 例1.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1. (1)证明：ab＋bc＋ca<0； (2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥. 【方法技巧】综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键； (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．　　 【变式探究】已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 【变式探究】(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： (1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 高频考点二　放缩法证明不等式 例2.若a，b∈R，求证：≤＋. 【方法技巧】用放缩法证明不等式 将所证不等式中的某些项适当放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的．这种方法灵活性较大，技巧性较强．　　 【变式探究】求证：＋＋＋…＋<. 证明：∵2n－1＝2·2n－1－1 ＝2·2n－1－＝2n－1≥·2n－1(n≥3)， ∴≤·， ∴＋＋＋…＋ <1＋＋ ＝＋<＋ ＝<＝. 高频考点三　柯西不等式的应用 例3、(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1. 【方法技巧】柯西不等式的应用类型及解题策略 类型 解题策略 求表达式的最值 依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件 求解析式的值 利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值 证明不 等式 注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明 【变式探究】已知x，y，z均为实数． (1)求证：1＋2x4≥2x3＋x2； (2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值． 【举一反三】已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $