第6讲 正余弦函数图像及其性质-【寒假预习】2021-2022学年高一数学考点定位精讲讲练（沪教版2020必修二）

第6讲 正余弦函数图像及其性质 1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）： 正弦函数，的图象中，五个关键点是： 2、正弦函数的图像： 把，的图象，沿着轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，就得到的图像，此曲线叫做正弦曲线。 由正弦函数图像可知： （1）定义域： （2）值域： ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以， 即 ，也就是说，正弦函数的值域是亦可由正弦图像直接得出。 （3）奇偶性：奇函数 由可知：为奇函数，正弦曲线关于原点对称 （4）单调递增区间：； （5）单调递减区间：； （6）对称中心：（）； （7）对称轴： （8）最值：当且仅当取最大值； 当且仅当取最小值。 （9）最小正周期： 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期 由此可知都是这两个函数的周期 对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它的周期，最小正周期是 注意： 1.周期函数定义域，则必有, 且若，则定义域无上界；则定义域无下界； 2.“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数; 3.往往是多值的（如中都是周期）周期中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 5、余弦函数的图像： （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：偶函数 （4）单调递增区间：， （5）单调递减区间： （6）对称中心：（） （7）对称轴： （8）最值：当且仅当取最大值； 当且仅当取最小值。 （9） 最小正周期：； 考点一：正余弦函数的图像 例1．（2019·上海长宁区·高一期末）函数（且）的图像是下列图像中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 例2．（2020·上海高一课时练习）图中的曲线对应的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当x>0,所以y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以y=－sin|x|. 例3．（2020·上海高一课时练习）函数 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状． 【详解】由题意得， 所以其图象的大体形状如选项C所示． 故选C． 【点睛】解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题． 考点二：正余弦函数的定义域值域 1、正余弦函数的定义域 例1．（2020·上海高一课时练习）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据不等式组，结合各象限角和轴线角三角函数值的符号即可得解. 【详解】由题可得，根据各象限三角函数值的符号可得， x的终边位于第二象限或者y轴的非负半轴，x轴的非正半轴， 即. 故答案为： 【点睛】此题考查求函数定义域，关键在于准确求解三角函数相关不等式，注意定义域的书写形式. 2、正余弦函数的值域与最值 例1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）函数上的值域是________. 【答案】 【分析】当时，，结合的性质即可得到答案. 【详解】当时，，则，函数 上的值域是.故答案为： 【点睛】本题考查余弦型函数的值域问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 考点三：正余弦函数的性质 1、正余弦函数的周期性 例1．（2020·上海高一课时练习）下列函数中，最小正周期为的偶函数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的周期公式可排除选项B；根据函数的奇偶性可排除A，C；即可得答案. 【详解】函数的最小正周期为，且为奇函数，所以A不正确； 函数的最小正周期为，所以B不正确； 函数，所以最小正周期为，非奇非偶函数，所以C不正确； 函数的最小正周期为，且为偶函数，故D正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性与奇偶性，属于基础题. 例2．（2020·上海徐汇区·高一期末）函数的最小正周期为____________. 【答案】 【分析】利用的最小正周期为，即可得出结论． 【详解】解：函数的最小正周期为：. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了的最小正周期为，属于容易题． 例3．（2020·徐汇区·上海中学）函数的最小正周