第5讲 解三角形-【寒假预习】2021-2022学年高一数学考点定位精讲讲练（沪教版2020必修二）

第5讲 解三角形 设中分别是角所对的边，为的外接圆半径，为内切圆半径，为的面积． 三角形内角和定理：． 正弦定理：． 余弦定理：． 三角形面积公式： 考点一：正余弦定理解三角形 例1．（2021·上海·高一期中）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求得的值. 【详解】 由正弦定理可得，可得. 故选：D. 例2．（2021·上海·高一单元测试）已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围． 【详解】由 及余弦定理，可得 正弦定理边化角，得 是锐角三角形， ，即． ，， 那么： 则， 故选： 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 例3．（2021·上海市七宝中学高一期中）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________． 【答案】 【分析】先利用正弦定理求出再用余弦定理即可求出. 【详解】因为由正弦定理得：代入，解得： 由余弦定理得：， 因为,所以. 故答案为： 例4．（2021·上海市七宝中学高一期中）在等腰直角三角形中，，，M是中点，点D是AC上一点，若，则________． 【答案】 【分析】设，根据勾股定理和正弦定理建立方程，解之可得答案. 【详解】设，则，， 故在中，， ，即． 故答案为：. 例5．（2021·上海市嘉定区第一中学高一期中）（1）如图，在直径为的轮子上有一长为的弦，是弦的中点，轮子以4弧度/秒的速度旋转，求点经过所转过的弧长； （2）在中，己知，且最长边为1，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用圆的性质求出的长，然后利用弦长公式可求得结果； （2）由已知条件求出，从而可判断出为最大角，再由的值求出的值，再利用正弦定理可求出，进而可求出三角形的面积 【详解】（1）因为是弦的中点，所以，因为，，所以，因为轮子以4弧度/秒的速度旋转，旋转了，所以所转过的弧长 （2）因为，，所以，所以，所以为最大角，所以 由，可得， 由正弦定理可得，所以， 所以的面积. 例6．（2021·上海市长征中学高一期中）已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 【分析】首先根据正弦定理求得，即得角，再求角，最后根据正弦定理求边. 【详解】根据正弦定理可得， 因为，所以或 当时，，． 当时，， 例7．（2021·上海市七宝中学高一期中）（1）证明：； （2）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积S． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）18. 【分析】（1）根据同角三角函数关系以及二倍角的正弦公式证明即可； （2）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： ， 故原命题成立； （2），， 又，则，且， 故， 的面积． 考点二：正余弦定理边角互化应用 例1．（2020·上海·位育中学高一期中）在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答. 【详解】在中，原等式化为：，由正弦定理得，， 即，由余弦定理得：，整理得， 则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形， 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：C 例2．（2021·上海·高一期末）在中，，，其面积为，则_______． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案. 【详解】依题意，， 由余弦定理得，， 由正弦定理得. 故答案为： 例3．（2021·上海·高一专题练习）在锐角三角形中，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则______. 【答案】4 【分析】首先通过余弦定理对已知条件化简整理，得出、、之间的关系，然后再对化简整理，并结合正弦定理和、、之间的关系即可求解. 【详解】由余弦定理可知，，从而可得， ， 即且， 又∵， 由正弦定理可知，. 故答案为：4. 例4．（2021·上海·高一）证明：若D是△ABC的边BC上一点，则 【分析】先根据∠ADB+∠ADC=，有 ，再利用三角形中的余弦定理代入化简即得结论. 【详解】证明：易见△ABC中，∠ADB+∠ADC=，