重难点04 解三角的最值与范围问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点04 解三角形的最值与范围7类问题 1、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 2、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 题型01：面积的最值与范围问题 【例1】已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 因为、，则，所以，，故. （2）解：由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为. 【例2】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）根据是锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理三角恒等变换可得出关于角的三角关系式，利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 【例3】的内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若，求锐角的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和，可求解，求出； （2）是锐角三角形和（1）得到，再由三角形的面积和正弦定理求出，求出面积范围. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. （2）因为是锐角三角形，由（1）知且，可得， 因为，所以， 由三角形面积公式得， 又由正弦定理且， 所以， 因为，所以， 故，则， 所以， 即面积的取值范围为. 【跟踪训练】 1.在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由正弦定理得， 由于，， 所以， 即， 则，又，所以． （2）由余弦定理，得（当且仅当时，取“” ， 从而， 所以的面积取得最大值． 2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，． （1）求角的大小和边长的值； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）， ∴， ， ，， 为锐角，， ∵， 由正余弦定理可得， 整理可得，解得． （2）， ，， ， ，，， ， ， ， 3.已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且． (1)求角的值； (2)求面积的取值范围． 【详解】（1）由条件，可得， 由正弦定理，得，所以， 所以，因为，所以． （2）由正弦定理，可知， ， ∵，∴，∴. 4.在中，设所对的边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和正弦公式计算结合角的范围求解； （2）先根据锐角三角形得出，由正弦定理结合面积公式及正切值域计算求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得， 因，则，则得，而，所以. （2）由（1）知，，因为锐角三角形，则，可得， 则，由正弦定理，得， 所以， 即的面积的取值范围为. 题型02：周长最值与范围问题 【例4】在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求的最大值，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由， 得 . 由正弦定理，可得. 由余弦定理，， 又角为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，得 ， 即 . 又，所以， 所以 （当且仅当时取等号）. 所以当为正三角形时，周长取得最大值，为9. 【例5】设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法1：利用正弦定理得，再利用两角和的正弦公式即可求解；方法2：利用余弦定理得，再利用余弦定理即可求解； （2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式即可求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换得，最后由三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）（方法1）由正弦定理，得， ， ， ， ，，， ，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，， ，； （2）方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，， 周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，， 周长的取值范围为. 【例6】在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式和正弦定义边角互化，求出三角形三边之间的关系，再根据余弦定理解三角形即可. （2）由三角形形状和角的大小，求出另外两个角的范围，根据正弦定理，用正弦值表示三角形各边长，再根据角的范围，求出三角函数值的范围，根据函数性质判断三角形周长的范围. 【详解】（1）在中，， 所以， 即． 由正弦定理可得，即． 由余弦定理，得， 因为为锐角三角形的内角，所以． （2）由（1）知，．因为是锐角三角形， 所以，，解得． 由正弦定理，得， 所以，， 所以的周长． 因为，且， 所以． 因为，，所以， 所以， 即的周长的取值范围是. 【跟踪训练】 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得． 因为，所以sinA＞0，所以， 所以，因为， 所以，即． （2）依题意，即ac＝4． 所以当且仅当时取等号． 又由余弦定理得 ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号． 所以△ABC的周长最小值为． 2.已知在中，角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】（1） 【解析】（1）因为， 所以， 即， 所以，整理可得， 所以可得， 因为，可得，， 所以，可得． （2）由正弦定理，且，， 所以，； 所以． 因为为锐角三角形， 所以得，解得． 所以； 即周长的取值范围是. 3．已知的内角的对边分别为． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意知中，，即，即，故，而； （2）由（1）知，而，故由正弦定理得，则 ，由为锐角三角形，则，则，故的周长 ，而，故，故的周长的取值范围为. 题型03：边长（长度）类最值与范围问题 【例7】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，． （1）若，求c的值； （2）求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C． 又，∴． 由正弦定理，得，即． 由余弦定理，得， 即，解得． （2）由正弦定理，得， ∴，． ∴ ． 由，得． 所以当时，即时，． 【例8】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由诱导公式和两角和的正弦公式转化条件等式，再结合正弦定理角化边和余弦定理即可求解角B； （2）由正弦定理进行边化角得到，再利用结合两角差的正弦公式和余弦函数性质即可求解. 【详解】（1）在中，有， 所以， 由正弦定理得， 由余弦定理得，所以， 因为，所以． （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以，故的取值范围为． 【跟踪训练】 1.在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：. （1）求角的大小； （2）若，求的最大值. 【答案】（1）； （Ⅱ）2. 【解析】（1）由正弦定理得：， 因为，所以， 所以由余弦定理得：， 又在中，，所以. （2）方法1：由（I）及，得，即， 因为，（当且仅当时等号成立） 所以. 则（当且仅当时等号成立） 故的最大值为2. 方法2：由正弦定理得，， 则， 因为，所以， 故的最大值为2（当时）. 2.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)设BC的中点为D，且，求的取值范围． 【详解】（1）中，，由正弦定理得． 所以， 即， 所以； 又，则，所以， 则有，又因为，则，即； （2）设，则中，由可知， 由正弦定理及可得， 所以，， 所以， 由可知，，， 所以． 即的取值范围. 题型04：角的最值与范围问题 【例9】在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得，结合三角形面积公式得，由余弦定理结合基本不等式可得，进一步可得，进而求出范围得解. 【详解】因为边上的高为， 所以，即， ，当且仅当取等号， ，即，即， ，则， ，故角的最大值为. 故选：B. 【例10】设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角. (1)若,，求的面积； (2)求的取值范围. 【详解】（1）， 因为，，故， 因为为钝角，所以，， 由正弦定理得，故， 其中， 所以，解得， ， ； （2）由（1）知，， ， 因为为钝角，所以，且， 解得， 所以， . 【跟踪训练】 1．若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式及正弦定理，同角三角函数的基本关系式将化简得，再将用和来表示，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】，，即， 由正弦定理得，， ，即， ，① 当时，，，， 此时，不满足题意，， ①式两边同时除以得，， 不妨设，则， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最大值为. 故选：B. 2．若的内角满足，则当角取最大值时，角的大小为 ． 【答案】 【分析】首先得，然后由基本不等式得角取最大值时，角、角的值即可. 【详解】由条件得，因此， 所以，由此可知，，， 从而，当且仅当，即时，，的最大值为， 所以角的大小为． 故答案为：. 3．在中，、、分别是的三个内角、、所对的边，已知 (1)求证：、、满足； (2)求角的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，在根据三角形内角关系化简式子，再结合正弦定理的角化边得结论； （2）根据余弦定理即与基本不等式可得的取值范围，集合余弦函数的取值范围，从而可得角的取值范围. 【详解】（1）证明：由可得， 整理得， 由正弦定理可得， 则， 所以， 由正弦定理可得； （2）由（1）得，则由余弦定理可得； ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，又，函数在上递减， 所以，故角的取值范围是. 题型05：有关比值的最值与范围问题 【例11】在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，,． ． . 【跟踪训练】 1.设的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小. （2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围. 【详解】 （1）由题设知，， 即，所以， 即，又所以. （2）由题设知，，即， 又为锐角三角形，所以，即所以，即， 所以的取值范围是. 2．已知分别为内角的对边，且． (1)求． (2)若，求． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用正弦定理和化简式子，再通过平方、辅助角公式或半角公式求出或等，结合角范围确定. （2）由正弦定理将边化为角，用二倍角公式和两角差余弦公式化简，代入算出结果. （3）根据的范围确定范围，进而得到范围，结合正弦函数性质求出式子范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 在中，， 所以，由，得， 两边平方得，得或 （舍）， 此处也可利用辅助角公式转化为，或利用半角公式得到，进而求出 在中，，所以． （2）由正弦定理得，则由二倍角公式可得 . （3）由（2）知， 由，，得， 则， 所以， 从而， 所以的取值范围为． 题型06：非对称型最值与范围 【例12】已知的内角的对边分别为，若． （1）求角C （2）若的面积为，则的最小值． 【答案】（1）；（2）80． 【分析】 （1）根据，利用正弦定理可得，然后转化为，再利用两角和的正弦公式求解. （2）根据的面积为，得到，再利用余弦定理得到，代入，结合利用基本不等式求解. 【详解】 （1）因为，由正弦定理得：， 所以，即， 又，故，故． （2）因为的面积为，所以，即， 故，由余弦定理可得， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为80． 【例13】已知中，分别为角的对边，且 （1）求角； （2）若，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据正弦定理，将已知等式边化为角，并化切为弦，结合两角和正弦公式，求出，即可得出结论； （2）由已知等式和正弦定理，求出边，根据（1）的结论和正弦定理，将化为角的正弦型函数，结合角范围，即可求解. 【详解】 （1）由正弦定理得，， ∴， ∴， ∴，∴； （2）设的外接圆半径为，∵， ∴， ，其中， ，当，即时，取最大值为. 【跟踪训练】 1.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A的值； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以或（舍去）． 所以，结合，得． （2）由（1）得: ． 因为是锐角三角形，所以B，C均为锐角， 即，，所以， 所以，， 所以的取值范围是． 1．在中，角所对的边分别为，，，已知 (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式得到，求出； （2）由基本不等式求出，得到面积的最大值. 【详解】（1），由正弦定理得 ， 其中， 故， 故， 因为，所以，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 所以，解得； （2），， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得，仅当时取等， 故的面积，最大值为. 2.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 3.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即； （2）由（1）可知， 所以（不符合题意舍去）或， 在中，由余弦定理得， 因为且，即， 当且仅当时取等号，即， 故的面积， 即面积的最大值为. 4.已知中，角，，所对边分别为，，，若满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简等式，可以得到角. （2）根据勾股定理，由基本不等式得到两直角边积的最值即可. 【详解】（1）由正弦定理知，， ∵，∴， ∴， 化简得， ，（其中舍去），即． （2）由（1）知，则， 那么的面积（当且仅当时等号成立）， 则面积的取值范围为． 5.已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理，结合题意可得答案； （2）由正弦定理，可得，则，然后由可得答案. 【详解】（1）由余弦定理，， 结合题意得，即. （2）由题意，为锐角三角形，,则，. 由正弦定理得，即 ， .. 6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）先利用边角互化将转化为关于B的方程，求出∠B． （2）因为B已知，所以求面积的最小值即为求ac的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得． 【详解】 （1）因为， 由正弦定理得． 因为，所以sinA＞0，所以， 所以，因为，所以，即． （2）依题意，即ac＝4．所以当且仅当时取等号． 又由余弦定理得 ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为． 7.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，. （1）求角A的大小； （2）求周长的范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）将利用正弦定理和两角和的正弦公式化简得，从而可得A的值. （2）由余弦定理和基本不等式，以及三角形两边之和大于第三边，可得周长范围. 【详解】 （1）由已知，得. 由正弦定理，得. 即，因为. 所以.因为，所以，因为，所以. （2）由余弦定理，得 即.因为所以，即（当且仅当时等号成立）. 又∵，即，所以，即周长的范围为. 8.的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 【详解】（1）因为，可得， 所以由正弦定理可得， 又为三角形内角，， 所以， 因为， 所以，可得，所以. （2）由（1）知，又， 由正弦定理得， 则， ， 9.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足. （1）求B； （2）若的面积为，求b的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理化简，结合和与差的公式即可求；（2）利用三角形面积公式和余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可得的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理得在中， 即 ，，， （2）三角形面积公式，可得：． 由余弦定理得： 当且仅当时，“”成立，．的取值范围是，． 10.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求B． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后可利用余弦定理求得结果； （2）首先根据正弦定理表示，再结合三角函数恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1） 由正弦定理得： ， ，， （2）， 由正弦定理得， ， ， 所以的取值范围为 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由已知 利用正弦定理得：，即 由余弦定理得： 又， （2）由（1）知，故 由，知， 利用正弦函数性质知 故原式的取值范围为 12.在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）（2） 试题分析：(1)利用正弦定理将所给的等式化解为三角函数式，求得，∴． (2)化简三角函数式，又，∴． 解：（Ⅰ）∵，∴，∴， ∴，∵，∴，∴． （Ⅱ），又，∴， ∴，即． 13.已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和差的余弦公式结合诱导公式得，再求即可； （2）在中，由正弦定理及两角和差的正弦公式可得，然后结合三角函数的值域的求法求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以； （2）根据正弦定理得， 由（1）得，， ，为锐角，所以，， 其中，，即， 综上可知，的取值范围是． 14.已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理可得，，进而化简可得，结合的范围，可得，设，进而利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，则， 则， 根据正弦定理得，， 因为，所以，则， 又，所以. （2）由正弦定理得，， 则，， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以， 设，， 则， 所以时，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点04 解三角形的最值与范围问题 1、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 2、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 题型01：面积的最值与范围问题 【例1】已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【例2】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【例3】的内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若，求锐角的面积的取值范围. 【跟踪训练】 1.在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，． （1）求角的大小和边长的值； （2）求面积的取值范围． 3.已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且． (1)求角的值； (2)求面积的取值范围． 4.在中，设所对的边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 题型02：周长最值与范围问题 【例4】在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 【例5】设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【例6】在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【跟踪训练】 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 2.已知在中，角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 3．已知的内角的对边分别为． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 题型03：边长（长度）类最值与范围问题 【例7】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，． （1）若，求c的值； （2）求的最大值． 【例8】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 【跟踪训练】 1.在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：. （1）求角的大小； （2）若，求的最大值. 2.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)设BC的中点为D，且，求的取值范围． 题型04：角的最值与范围问题 【例9】在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 【例10】设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角. (1)若,，求的面积； (2)求的取值范围. 【跟踪训练】 1．若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．若的内角满足，则当角取最大值时，角的大小为 ． 3．在中，、、分别是的三个内角、、所对的边，已知 (1)求证：、、满足； (2)求角的取值范围. 题型05：有关比值的最值与范围问题 【例11】在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【跟踪训练】 1.设的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 2．已知分别为内角的对边，且． (1)求． (2)若，求． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 题型06：非对称型最值与范围 【例12】已知的内角的对边分别为，若． （1）求角C （2）若的面积为，则的最小值． 【例13】已知中，分别为角的对边，且 （1）求角； （2）若，求的最大值. 【跟踪训练】 1.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A的值； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 1．在中，角所对的边分别为，，，已知 (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 2.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 3.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 4.已知中，角，，所对边分别为，，，若满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的取值范围． 5.已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 7.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，. （1）求角A的大小； （2）求周长的范围. 8. 的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 9 .已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足. （1）求B； （2）若的面积为，求b的取值范围. 10.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求B． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B的大小； （2）求的取值范围. 12.在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的大小； （2）求的取值范围. 13.已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 14.已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $