第4讲 二倍角公式与三角变换的应用-【寒假预习】2021-2022学年高一数学考点定位精讲讲练（沪教版2020必修二）

第4讲 二倍角公式与三角变换的应用 1．二倍角公式 ；； 。 2．半角公式 ；； （） 3.积化和差公式 4.和差化积公式 考点一:二倍角公式[（ ） ] ] 例1．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由同角三角函数关系式,可由求得.再求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值 （2）由同角三角函数关系式,可先求得,.将变形为,由余弦的差角公式展开并代入已知值即可求得的值 【详解】（1）由同角三角函数关系式, 代入可得 而，所以，则 所以由正切二倍角公式可得 （2）由同角三角函数关系式及且,., 则可求得, 则由余弦差角公式化简可得 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正切二倍角公式及余弦差角公式的应用,角的配凑法应用,属于中档题. 例2．（2020·上海高一课时练习）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【分析】（1）利用二倍角降幂公式结合诱导公式可证得等式成立； （2）利用二倍角余弦公式结合弦化切的思想化简可证得等式成立. 【详解】（1）； （2） 【点睛】本题考查利用二倍角的正弦和余弦公式证明恒等式，在利用二倍角余弦公式时有升幂与降幂两种书写形式：升幂：；. 降幂：；. 考查计算能力，属于中等题. 例3．（2020·上海高一课时练习）已知，，求的值. 【答案】 【分析】由三角函数的基本关系式，求得，再由诱导公式，求得，进而得到，最后利用两角差的正切公式，即可求解. 【详解】由，且，可得， 又由诱导公式，可得，即， 可得， 所以. 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式和正切的两角差的公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 考点二：三角变换的应用 例1．（2021·上海市金山中学高一阶段练习）如图，在扇形OAB中，，半径OA=2，在上取一点M，连接OM，过M点分别向线段OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.设，则四边形MEOF的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再利用锐角三角函数表示出，，，， 最后根据、 二倍角公式及辅助角公式化简即可； 【详解】解：因为，，，所以， ， ， 所以 ， 故选：B 例2．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的范围可求，，，利用倍角公式即可化简． 【详解】解：，，， 所以，，， ， ． 故选：A． 例3．（2021·上海·高一课时练习）化为和差的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差公式化简即可. 【详解】解：原式. 故选：. 【点睛】本题考查积化和差公式的应用，属于基础题. 例4．（2021·上海·曹杨二中高一期末）在中，，若，，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，运用二倍角公式，可得，再将条件，做恒等变换，可得，，再结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】， ，，即， 为三角形内角， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故选项正确，选项错误， ，故选项错误， 又， ，故选项错误． 故选：． 例5．（2021·上海·高一期中）函数的最大值是______． 【答案】4 【分析】首先把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最大值． 【详解】解：函数， 当，即时，． 故答案为：4． 例6．（2021·上海·高一课时练习）下列四个关系式中错误的个数__________. ①； ②； ③； ④. 【答案】3个 【分析】根据三角函数和差化积公式，可直接判断①②③，对于④先将转化为，再根据三角函数的和差化积公式，化成积的形式，即可判断是否正确. 【详解】由和差化积公式，可知： 对于①，，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，故③错误； 对于④， ，故④错误. 故答案为3个. 例7．（2021·上海·高一课时练习）已知，，则__________. 【答案】 【分析】由和差化积公式结合得出. 【详解】 故答案为： 例8．（2021·上海·高一课时练习）在中，若，则是__________三角形. 【答案】直角 【分析】由和差化积公式化简得出，进而得出，从而判断的形状. 【详解】由得出 两边除以得，即 由，得到，所以，即 所以，则是直角三角形 故答案为：直角 例9．（2021·上海市第二中学高一期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，