专题08 数列求和14种归类-【备考集训】2021-2022学年高二数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019选择性必修第二册)

专题08 数列求和14种归类 本节课知识点目录： 1、 求和基础：等差等比公式法； 2、 裂项相消常规公式求和型。 3、 F（n）型“等差”裂项相消求和型 4、 “指数型”裂项相消求和 5、 指数“等差”型裂项相消求和型 6、 错位相消求和 7、 分组求和型 8、 分段数列求和 9、 正负相间奇偶讨论型求和法（符号型） 10、 周期数列求和型 11、 倒序求和型 12、 无理根式求和型 13、 三角函数求和型 14、 先放缩后求和型. 知识与技巧典型题一：求和基础---等差等比公式法 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据条件可求出公差，即可写出通项公式；再求出的首项和公比，即可写出的通项公式，进而求出的通项公式； （2）利用分组求和法可求出. 【详解】 （1）设等差数列的公差为， 由题意得． 设等比数列的公比为q，则，， ，. （2）数列前n项和为，数列的前n项和为， 数列的前n项和为：. 知识与技巧典型题二：裂项相消常规公式型 1.设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和. 【答案】（1）；（2） ∴时，②①-②得，，， 又时，适合上式，∴. （2）由（1）， ∴. 2. 为数列{}的前项和.已知＞0，=. （Ⅰ）求{}的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3， 当时，==，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所以数列{}前n项和为= =. 知识与技巧典型题三：f（n）型“等差”裂项相消求和 1.等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）数列的前项和为，证明. 【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）证明见解析. 【详解】（Ⅰ）由题意得（不符）或， 所以.则当时 .当时符合，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以. 2.数列满足，且. （1）设，证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和为. 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【详解】（1）由得，则，即，因为，所以， 即数列是以为公差的等差数列； （2）因为，，所以；由（1）得，，即， 则，所以，，…，， 以上各式相乘可得，，所以； 因此， 因此数列的前项和为 知识与技巧典型题四：指数型裂项相消求和 1.设数列的前n项和为，已知，，. （1）求通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 解：（1）因为，，，所以当时，， 以上两式做差得：，即，，由于，所以， ， 所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以 . （2）结合（1）得， 所以数列的前n项和为： ， 由于，所以，所以 2、已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立. （1）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式； （2）在（1）的条件下，记数列的前项和为，求. 【答案】（1）；（2） 试题解析：（1）由得：当时，，两式相减得：， 因为数列是等比数列，所以，又因为，所以解得：,得： （2） 知识与技巧典型题五：指数“等差”型裂项相消求和 1、已知数列的前项和为，且，数列满足：，且． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列与的通项公式； （3）设，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）见解析；（2），，；（3）见解析 【详解】（1）因为，即，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）因为当，当时， ， 当时，满足上式，所以， 当时，，当时，，所以． （3）因为 所以， 综上． 2、已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.（1）求数列，的通项公式； （2）若数列的前项和是，数列满足，求证：. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【详解】（1）由已知，，所以是常数列，，故 设的公比是，由已知得，所以所以，故 （2） 累加得： 所以，得证. 知识与技巧典型题六：错位相消求和 1.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 解：（1）设的公比为，由题设得 即. 所以 解得（舍去），.故的公比为. （2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以 ， . 可得 所以. 知识与技巧典型题七：分组求和法 已知数列的前项和，数列满足. （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据当时，可以求出数列的通项公式，再验证当时，首项是否适合；再根据，结合对数与指数互化公式进行求解即可； （2）化简数列的通项公式