上海市宝山区2021-2022学年高三上学期期末教学质量监测（一模）数学试卷

2021学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷 （120分钟，150分） 考生注意： 1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 3．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则＝________． 2.已知集合＝，＝，则＝________． 3.在的展开式中，的系数为________． 4.函数的定义域是________． 5.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______． 6.已知数列，且满足，则________． 7.若满足则的最大值为________． 8.计算___ _____． 9.在三角形中，是中点，＝，＝，则________． 10.已知定义在R上的函数满足，当时，，则方程有_________个根. 11.在中，角所对的边分别为，，，且 ，若，则的最大值为_________. 12.在平面直角坐标系中，已知圆：＝， 点是直线＝上的一个动点，直线，分别切 圆于，两点，则线段长的取值范围是________． 第12题 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. “”是“”的（ ） (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 14.已知函数，则（ ） (A)是奇函数，且在上是增函数； (B)是偶函数，且在上是增函数； (C)是奇函数，且在上是减函数； (D)是偶函数，且在上是减函数. 15.已知双曲线，作轴的垂线交双曲线于、两点，作轴的垂线交双曲线于、两点，且＝，两垂线相交于点，则点的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)双曲线 (C)圆 (D)抛物线 16. 设,定义运算“”和“”如下:.若正数满足,则（ ） (A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题共有5题，满分76分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图,已知正方体的棱长为，，分别是棱与的中点. (1)求以为顶点的四面体的体积； (2)求异面直线和所成的角的大小. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数＝，． 若，函数是偶函数，求方程； 求函数＝的值域． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量高度（单位：），如示意图，垂直放置的标杆的高度＝，使A，B，D在同一直线上，也在同一水平面上，仰角＝，＝．(本题的距离精确到0.1m) （1）该小组测得、的一组值为＝51.83°，＝，请据此计算的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精确度．若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 如图，已知，是椭圆的左右焦点，是其顶点，直线与相交于两点. （1）求的面积； （2）若，点重合，求点的坐标； （3）设直线的斜率分别为、，记以为直径的圆的面积分别为、，的面积为，若、、恰好构成等比数列，求的最大值. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数＝，无穷数列满足＝，. （1）若＝2，写出数列的通项公式（不必证明）； （2）若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由； （3）证明：，，… ，，…成等差数列的充要条件是=1. 第3页 共4页 $