第5讲 基本初等函数、函数与方程-2022届新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第5讲 基本初等函数、函数与方程 [考情分析]　1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现． 基本初等函数(Ⅰ) 本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习． 函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图． 掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑． 函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】 1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0) (1)定义域为R，值域为R； (2)图象如图所示，为一条直线； (3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数； (4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y＝kx＋b的零点为 2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 通过配方，函数的解析式可以变形为 (1)定义域为R： 当a＞0时，值域为； 当a＜0时，值域为； (2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下． (3)当a＞0时，是减区间，是增区间； 当a＜0时，是增区间，是减区间． (4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数． (5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点； 当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点； 当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1) (1)定义域为R；值域为(0，＋∞)． (2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点． 4．对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)， 对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数． (1)定义域为(0，＋∞)；值域为R． (2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性， (4)函数的零点为1． 5．幂函数y＝xα(α∈R) 幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)； (2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴． 要注意： 因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象． 根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象． 6．指数与对数 (1)如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根． 负数没有偶次方根． ； (2)分数指数幂， ； n，m∈N*，且为既约分数)． ，且为既约分数)． (3)幂的运算性质 aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，a0＝1(a≠0)． (4)一般地，对于指数式ab＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为logaN， 即b＝logaN(a＞0，且a≠1)． (5)对数恒等式：＝N． (6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式： ； ； .(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0). 【复习要求】 1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质． 2．准确、熟练的掌握指数、对数运算； 3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法． 【知识要点】 作函数