第4讲 函数的图象与性质-2022届新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第4讲 函数的图象与性质 函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等． 函数的性质与图象 【知识要点】 函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质． 本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法． 1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数． 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数． 由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到： 奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形． 2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则 当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数； 当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数． 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间． 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 【复习要求】 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题； 2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性． 3．了解函数周期性的含义． 4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题． 函 数 【知识要点】 要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念． 1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象． 2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A． 其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定． 3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心． 【复习要求】 1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象． 2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数． 3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则． 4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域． 【教材回归】1．函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围． (2)常见函数的值域 ①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R； ②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为； ③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}． 【例题分析】 （2020秋•北海期末）函数f（x）＝+的定义域为（　　） A．[0，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2）∪（2，+∞） D．[0，2）∪（2，+∞） （2020秋•滨州期末）函数的定义域为（　　） A．[﹣2，0] B．（﹣2，0） C．（﹣2，0] D．（﹣2，+∞） （2020秋•上高县校级期末）下列各函数中，值域为（0，+∞）的是