第3讲 两角和与差-【寒假预习】2021-2022学年高一数学考点定位精讲讲练（沪教版2020必修二）

第3讲 两角和与差 1．两角和与差的三角函数 ；； 。 2. 辅助角公式 考点一：已知两角的正余弦、求和差角的余弦 例1．（2021·上海·曹杨二中高一期末）若，则__________． 【答案】 【分析】根据，利用两角差的余弦公式可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以 . 故答案为：． 例2．（2021·上海市七宝中学高一期中）若为锐角，且，则________． 【答案】 【分析】根据两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】为锐角，且， ，， . 故答案为： 例3．（2021·上海市嘉定区第一中学高一期中）已知角的终边与单位圆交点的坐标是.将的终边绕坐标原点逆时针转动30°得到角，则角的终边与单位圆交点的坐标是_______. 【答案】 【分析】由题意可得的值，，然后利用两角和的正余弦公式可求得结果 【详解】解：因为角的终边与单位圆交点的坐标是. 所以， 因为将的终边绕坐标原点逆时针转动30°得到角，所以， 所以， ， 所以角的终边与单位圆交点的坐标是， 故答案为： 例4．（2021·上海市进才中学高一期中）已知角都是锐角，，则______. 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系得，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为均为锐角，且， 所以，， 因此. 故答案为： 例5．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知、，，，则______ 【答案】 【分析】本题首先可根据同角三角函数关系得出、，然后根据两角差的余弦公式即可得出结果. 【详解】因为、，，， 所以，， 则， 故答案为：. 例6．（2021·上海市控江中学高一期中）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若点的纵坐标为，则点的坐标为________ 【答案】 【分析】由三角函数的定义可得，利用两角差的正弦、余弦公式可求得、的值，即可得出点的坐标. 【详解】由三角函数的定义可知，点的纵坐标为，即，故. 因为，则， 若，则，不合乎题意； 若，则，合乎题意. 故，所以，. 所以，， ， 而，. 因此，点的坐标为. 故答案为：. 例7．（2021·上海·高一期中）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为______． 【答案】（，） 【分析】结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求． 【详解】解；设点A′的坐标（x，y），则OA＝OA′， 设A为α终边上的一点，则sinα，cos， 则cos（），sin（）（sinα+cosα）， 即x，y， 故点A′的坐标为（，）． 故答案为：（，）． 例8．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高一期中）已知点是角终边上的点，，，求： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角函数的定义求； （2）利用两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）角终边上一点，， ； （2）由（1）可知， 因为，，， . 例9．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）如图，、是单位圆上的点，且、分别在第一与第二象限，是单位圆与轴正半轴的交点，若△为正三角形，点的横坐标为. （1）求； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设（），依题意可得，进而可得结果； （2）由（1）得，，由可得结果. 【详解】（1）依题意设（），则，所以； （2）由（1）知，所以，又， 故. 例10．（2021·上海市实验学校高一期中）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. （1）求的值； （2）若角满足，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据三角函数的定义可得结果； （2）利用两角和差的三角公式转化求解即可. 【详解】（1）由角的终边过点得， （2）由角的终边过点得， 由可得. 当时， ； 当时， . 所以或. 例11．（2021·上海·曹杨二中高一阶段练习）（1）已知，.求的值； （2）已知，且，，求角的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）对两边平方可得，进而可知，以及，再根据余弦的二倍角和同角的基本关系，即可求出结果； （2）由题意和同角的基本关系可知， ，又 ，根据余弦的两角差公式即可求出结果. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以，即； 又，所以，所以， 又，所以， 所以； 所以； （2）因为，，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以 ， 又， 所以. 例12．（2021·上海市新场中学高一阶段练习）已知，，均为锐角. （1）求； （2）求 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据，利用两角差的正切 公式求得结果． （2）求得得，由 求出结果． 【详解】（1） （2），，