第2讲 任意角与诱导公式-【寒假预习】2021-2022学年高一数学考点定位精讲讲练（沪教版2020必修二）

第2讲 任意角与诱导公式 1.任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 注意： 1） “同角”的概念与角的表达形式无关，如： ，. 2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立. 3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 2.诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 【解析】①以上诱导公式都是当取使等式两边都有意义的任意值； ②以上诱导公式的正负号的确定；将看成锐角时，等号左边的角的三角比的正负，决定了等号的正负号； ③利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比，转化的一般途径是：负角正角内的角锐角或零角，以上的转化途径不唯一。 考点一：任意角的正弦、余弦、正切、余切 例1．（2021·上海市行知中学高一期末）是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，可求得的表达式，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为， 所以或， 所以，或， 所以是的必要不充分条件.故选：B 例2．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）已知，，则等于________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，进而利用商数关系可求得的值. 【详解】，，因此，． 故答案为：． 例3．（2021·上海市行知中学高一期末）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为　 　． 【答案】 【分析】先由条件判断sinθ＞0，cosθ＜0， 得到sinθ﹣cosθ，把已知条件代入运算，可得答案． 【详解】∵θ是△ABC的一个内角，且， ∴sinθ＞0，cosθ＜0， ∴sinθ﹣cosθ，故答案为 ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，把sinθ﹣cosθ 换成是解题的关键． 例4．（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）对已知条件两边同时平方结合可得，结合，可得，进而可得，计算即可求解； （2）将化切为弦再通分，利用整体代入即可求解. 【详解】（1）由可得， 即，解得， 因为，所以，可得， 所以， 所以， （2） . 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件求出，根据其符号判断所在的象限，可判断的符号. 考点二：诱导公式 例1．（2021·上海·高一期末）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用正弦的诱导公式，结合特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】， 故选：D 例2．（2021·上海市西南位育中学高一期中）在平面直角坐标系中，若角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】角的终边在第二象限,则,，逐项判断即可. 【详解】角的终边在第二象限,则, A.,错误 B.,错误 C.,错误 D.,正确 故选：D 例3．（2021·上海市民办西南高级中学高一阶段练习）已知，则（ ） A．0 B．m C．-m D．不确定 【答案】C 【分析】利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：C 例4．（2020·上海·位育中学高一期中），化简： （ ） A． B． C． D．随k的变化而变化 【答案】B 【分析】根据给定条件按k是奇数和偶数分类，借助诱导公式化简计算即得. 【详解】因，则当k是奇数时，， 当k是偶数时，， 所以 故选：B 例5．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）已知，则________ 【答案】 【分析】直接利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为，所以 故答案为： 例6．（2021·上海市民办西南高级中学高一阶段练习）___________________． 【答案】0 【分析】利用诱导公式变形给定表达式，再经计算即得. 【详解】因，于是得： 原式 . 故答案为：0 例7．（2021·上海市长征中学高一期中）已知，且是第二象限角，则的值等于_______ 【答案】 【分析】利用同角三角函数间的关系式可求得，再利用诱导公式化简求值即可． 【详解】解：，且是第二象限角， ， ． 故答