解密06 解三角形（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密06 正、余弦定理及解三角形 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用正、余弦定理解三角形 解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 2021年全国乙卷15 2020课标全国Ⅲ 7 2020课标全国Ⅱ17 2019课标全国Ⅱ15 2018课标全国Ⅰ17 2018课标全国Ⅱ6 2018课标全国Ⅲ9 ★★★★★ 解三角形与其他知识的交汇问题 2021新高考Ⅰ卷19 2021新高考Ⅱ卷18 2020课标全国Ⅰ16 2019课标全国Ⅰ17 2019课标全国Ⅲ 17 ★★★ 考点一 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形 ☆技巧点拨☆ 利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化． 若想“边”往“角”化，常利用“a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C”； 若想“角”往“边”化，常利用sin A＝等． ，cos C＝，sin C＝，sin B＝ 例题1 1．在 中，已知 ，则角 的大小为（ ） A． B． C． D． 1．A 【分析】因为 ， 由正弦定理，可得 ， 又由余弦定理得 ， 因为 ，可得 . 故选：A. 例题2．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，其中 ， ，则 的最小值为（ ） A．9 B．12 C．18 D．20 【分析】由题意知 ， 根据正弦定理，可得 ， 因为 ，所以 ， 即 ，则 ， 当且仅当 时等号成立，即 的最小值为18． 故选：C． 例题3．在 中，角 的对边分别是 ，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 由余弦定理得： ， ， ，又 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ．故选：A． 例题4．从① ，② 的面积 ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答． 已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ，且________． （1）求 ； （2）若角 的平分线 与 交于点 ， ，求 ， ． （1）条件选择见解析， （2） 【分析】解：若选① ， ， 又 ， ， ， 若选②： ， ， ， 又 ， ， ， ， ． 若选③： ， ， 由正弦定理得 ， ， ， ． （2） 是角 的平分线， ， ， 即 ， ， 由（1）知， ，解得 ． 题组二 与不等式有关的问题 例题2．在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足 . （1）求角 ； （2）若 ，求 的取值范围． 因为 ， 由余弦定理得c(a － b)＝a2－b2， 所以a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2， 即a2＝b2＋c2－bc. 因为a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以cos A＝ ，则A＝ . （2）由正弦定理得 ＝ ＝2， 所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以b＋c＝2sin B＋2sin C＝2sin B＋2sin(A＋B) ＝2sin B＋2sin Acos B＋2cos Asin B＝3sin B＋ cos B ＝2 sin(B＋ )．因为B∈ ，所以B＋ ∈( ， π)．所以sin(B＋ )∈( ，1]， 则b＋c∈( ，2 ]． 例题2．在锐角 中， 角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求证： ． （2）若 ，求 的取值范围． 解：因为 ，由正弦定理得 ， 因为 = ， 所以 ，则 或 ， 即 或 （舍去），故 . （2）解：因为 是锐角三角形，所以 ，解得 ， 所以 ，由正弦定理可得： ，则 ，所以 . 例题3．若函数f（x）=Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）满足下列条件：f（x）的图象向左平移π个单位时第一次和原图象重合；对任意的x∈R都有f（x）≤f（ ）=2成立． （1）求f（x）的解析式； （2）若锐角△ABC的内角B满足f（B）=1，且∠B的对边b=1，求△ABC的周长l的取值范围 （1）由题意可得：T= =π，解得：ω=2， ∵对任意的x∈R都有 成立， ∴ 时，f（x）有最大值2，可得：A=2， ∵ ，k∈Z， 又∵0≤φ＜π， ∴ ， ∴ ． （2）f（B）=1，∴ ，而 ，故 ， ∴ ，∵△ABC是锐角三角形， ∴ ， ，∴ ， ∴△ABC中，由正弦定理可得 ， ∴ ，∴ ，∴ ． 题组三 三角形形状的判断 ☆技巧点拨☆ 判断三角形的形状有以下几种思路： （1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”； （2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角