解密06 解三角形（分层训练）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

( A组 基础练 )解密06 解三角形 一、单选题 1．（2021·广东·执信中学高三期中）《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8，代表阴阳太极图的圆的半径为2，则每块八卦田的面积为（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为， 设等腰三角形的腰长为，由正弦定理可得，解得， 所以三角形的面积为， 则每块八卦田的面积为.故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角的对边分别为，若则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，由及正弦定理得： ，，于是得 因为为锐角三角形，则有，即，解得，有，则，所以的取值范围为．故选：A 3．（2021·吉林吉林·高三阶段练习）若将直角三角形的三边，，分别增加个单位长度，组成新三角形，则新三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】由题意，不妨设为直角三角形的斜边，故 各边增加1，可得三边长为： 此时为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，不妨设新三角形最大角为 故 由于，，为三角形的三条边，故，又为锐角 新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形故选：A 4．（2021·广东·高三阶段练习）2021年7月份河南郑州地区发生水灾，灾后需要对市区所有街道进行消毒处理．下面是消毒装备的示意图，MN为路面，PQ为消毒设备的高，OQ为喷杆，，，O处是喷洒消毒水的喷头，且喷头的喷射角，已知，，则消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B过点O作OC⊥AB于点C，过点Q作QD⊥OC于点D 因为，，所以 因为，，所以，，所以 因为，由面积公式得： 又因为所以，即 要想使得消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值，只需最小 由余弦定理得： 即化简为： 因为，当且仅当时等号成立 所以，解得：或（舍去） 故，此时 故选：B 5．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习）在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理得：， ，，又，， ，． 故选：A． 6．（2021·广西柳州·一模）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，a＝7，c＝5．则该三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦正理可知： ，根据余弦定理得，，；由余弦定理得， 或 (舍)， 设△ABC内切圆半径、外接圆半径，三角形周长分别为：， 根据正弦定理得，， 又，∴﹒ 其中与内切圆半径有关的三角形面积公式证明如下： △ABC内切圆圆心为O，半径为r，OA、OB、OC将△ABC分为三部分， ∴， 其中为三角形周长﹒ 故选：A﹒ 7．（2021·四川·高三阶段练习）设的内角的对边分别为的面积，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由， ∴，在中，，∴，解得.故选：A. 8．（2021·陕西安康·高三期中）已知中，，，垂足为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过分别作、的平行线交于、交于，则. ，，， 所以，，， ，，故， 所以，四边形为菱形， 因为，则， . ，与重合，则， 所以，， 故选：A. 9．（2021·四川·高三阶段练习）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】：因为，所以，即， 所以，故． 故选：A 10．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在中，是线段上一点，且，记，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设，则，由正弦定理列关系式，由此可求. 【详解】 设，则， 在中由正弦定理可得， 在中由正弦定理可得， ∴ ，又，， ∴ ， 故选：B. 二、解答题 11．（2021·上海徐汇·一模）已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 【答案】 （1）（2） （1）∵，∴，即， 所以， 令，，解得：，， 因为，所以 ，解得：，因为，所以，所以，函数在上的单调递减区间为； （2），即， 因为，所以，所以，解得：， 因为，所以，从而， 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，即，解得：， 由面积公式得：，当时，等号成立， 所以面积的最大值为 12．（2021·福建龙岩·高三期中）已知函数，最小正周期是，在△ABC