5.5数列通项公式 -2022届高考数学一轮复习讲义

5.5 数列的通项公式 一、学习目标 1.巩固等差数列、等比数列的通项公式； 2.掌握常见的求通项公式的方法． 二、知识要点 求数列通项公式的类型和方法： 1.不完全归纳法：根据前几项写出通项； 2.公式法：适用于等差数列与等比数列； 3.已知 求通项，利用 ； 4.已知递推关系求通项： （1）若 ，累加法； （2）若 ，累乘法； （3）若 ，构造等比数列； （4）若 ，构造等差数列． 三、典例分析 例1.（1）在正项数列 中， ， ，则 __________． （2）若数列 满足 ， ， ，则 __________． 【答案】（1） ； （2） . 例2.（1）数列 满足的前 项和为 ，且 ，则 __________． （2）数列 满足 ，则 _________． 【答案】（1） ； （2） . 例3.（1）若数列 的前 项和为 ，则 ___________. （2）设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 __________， ________． 【答案】（1） ； （2） ， . （2）解析： ，整理为 ，即 ，即数列 是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 . 于是 . 例4.（1）在数列 中， ， ，则 _________． （2）已知数列满足 ， ，则 _________． 【答案】（1） ； （2）． 例5.（1） 已知数列{}满足=1， ，则 __________. （2）在数列 中， ， ，则 __________． 【答案】（1） ； （2） ． 例6.（1）在数列 中， ， ，则 __________． （2）已知数列 中， ， ，则 __________． （3）在数列 中， ， ，则 __________． 【答案】（1） （2） ； （3） . 例7.（1）若数列 满足 ， ，则 ________. （2）设等比数列 满足 ．求 的通项公式. 【答案】（1） ； （2） . 解析：（1） 数列 满足 ， ， ，同理可得： ， ， ，… 数列 是周期为4的数列，又2020＝505×4， . （2）由 ， ， ， ， … 猜想 的通项公式为 ． 证明：（数学归纳法）当 时，显然成立；（1） 假设 时，即 成立；其中 ， 由 EMBED Equation.DSMT4 （2） 故假设成立，综上（1）（2），∴ 四、课外作业 1．数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 2.在数列 中， ， ，则 （ 　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】A 3．若数列 的通项公式是 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 4.设数列 的前 项和 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 5．在数列 中， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 6.在数列 中， ， ，则 ____________． 【答案】 7.在数列 中，已知其前 项和为 ，则 __________． 【答案】 8. 在数列 中， ， ，则 ____________． 【答案】 9.已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 _________． 【答案】 解析 EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， , 即 ， 又 ， 数列 是首项为 ，公比为3的等比数列， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 . 10.设数列 中前 项的和 ，则 ____________． 【答案】 解析：由 ①，取 得： ，即 . 当 时， ②， ①－②得： ，即 . .∵ ， ∴数列 是以1为首项，以2为公比的等比数列， ∴ . ，故答案为： . $