2.4 一元二次方程-2022年中考数学总复习全优学案（全国通用）

2.4 一元二次方程 考点1 一元二次方程定义 1. 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 考点2 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 2. 配方法： 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。 3. 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式： 4. 因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 考点3 一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系 1. 根的判别式: 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 。 （1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当△<0时，方程没有实数根。 2. 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 例1 下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x3﹣2xy﹣5y2＝0 【答案】C 【解析】根据一元二次方程的定义，对选项逐个判断即可，一元二次方程是指只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程． 【详解】解：A、不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意； B、时，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、含有两个未知数，最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；故选：C 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 例2 已知a，b，c均为整数，且满足，则以为根的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于要求a+b，c-b为根的一元二次方程，就必须求得a+b+c-b即a+c的值和（a+b）×（c-b）的值；再根据已知条件a，b，c均为整数，且满足a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c求出a，b，c，的值代入即可． 【详解】解：因为a，b，c为整数，且满足a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c， ∴a2+b2+c2+3≤ab+3b+2c-1，移项，配方得：(a−)2+3(−1)2+（c-1）2≤0， 所以，a-=0，-1=0，c-1=0，解得：c=1，b=2，a=1． 从而a+b=3，c-b=-1， ∴求作的方程为：x2-2x-3=0．故选：D． 【点睛】本题利用了根与系数关系，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时p=-（x1+x2），q=x1x，已知两根确定方程中未知系数．难度一般，关键掌握已知两根确定方程中未知系数和根据不等公式求出具体数据的方法． 例3 将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1 【答案】A 【解析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0， 一次项系数、常数项分别是-5，1，故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 例4 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0，则下列关于该方程的根的判断正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关 【答案】A 【解析】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：x2+bx﹣4＝0，Δ=b2-4×1×（-4）=b2+16， ∵不论b为何值，b2≥0，