第二部分 专题四 第3讲 空间向量与立体几何-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第3讲　空间向量与立体几何(理科) ★[高考定位]　空间向量在立体几何中的应用主要体现在利用空间向量解决立体几何中的位置关系、空间角以及空间距离的计算等问题，是每年高考的必考内容，并且以解答题的形式出现，其考查形式为一题多问，多步设问，通常第一问考查空间位置关系，第二、三问考查空间角或距离，难度中等．利用空间向量求空间角仍是重点，对于探索点或线满足所给关系的问题要引起重视． 考点一　利用空间向量证明平行、垂直 [知识整合] 　设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，ν＝(a3，b3，c3)． 1．线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 2．线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k≠0)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k≠0)． 3．面面平行 α∥β⇔μ∥ν⇔μ＝λν(λ≠0)⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3(λ≠0)． 4．面面垂直 α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. [例1]　如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2BC＝4，E、F是棱PC、PB上的点，＝3，＝2. (Ⅰ)求证：AF∥平面BDE； (Ⅱ)棱PA上是否存在点M，使CM⊥面BDE？若存在，求出的值；不存在，请说明理由． 解析：(Ⅰ)∵PD⊥平面ABCD，AD、CD⊂平面ABCD. ∴PD⊥AD，PD⊥CD 在矩形ABCD中，AD⊥CD ∴DA、DC、DP三条线两两垂直 如图，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4) ∵＝3，∴E(0,3,1)；∵＝2，∴＝＝ ∴＝＋＝(－2,0,4)＋＝ 设n＝(x，y，z)为平面BDE的一个法向量 由，，取n＝(－2,1，－3) ∵·n＝＋－4＝0 ∴⊥n 又∵AF⊄平面BDE ∴AF∥平面BDE (Ⅱ)假设存在M满足＝λ(0≤λ≤1)，使CM⊥平面BDE ＝＋＝(2，－4,0)＋λ(－2,0,4)＝(2－2λ，－4,4λ) 若CM⊥平面BDE，则∥n ∴＝＝ 即：∴λ∈∅ 故不存在满足条件的点M. 利用向量法证明平行与垂直的四个步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面； (3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、 垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题． [跟踪训练] 如图，由直三棱柱ABC－A1B1C1和四棱锥D－BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1 (1)求证：AC⊥DC1； (2)若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1； 解析：(1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∴CC1⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC， ∴CC1⊥AC， ∵平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1＝CC1， 又∵AC⊂平面ACC1A1， ∴AC⊥平面CC1D， 又DC1⊂平面CC1D，∴AC⊥DC1 (2)直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∵AA1⊥平面A1B1C1，而A1B1，A1C1⊂平面A1B1C1 ∴AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1， 又∠BAC＝90°， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，C(2，，0)，C1(0，，0)，B(2,0,1)，B1(0,0,1)，D(1，，2)， 所以＝(－2,0,0)，＝(1，，1)， 设平面DBB1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则，即， 令y＝1，则n＝(0,1，－)， ∵M为DC1的中点，则M，所以＝， 因为·n＝0，所以⊥n，又AM⊄平面DBB1， ∴AM∥平面DBB1. [点睛]　证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 考点二　利用空间向量求空间角 [知识整合] 1．向量法求异面直线所成的角 若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝. 2．向量法求线面所成的角 求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝. 3．向量法求二面角 求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉