第二部分 专题四 第2讲 空间点、线、面的位置关系-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第2讲　空间点、线、面的位置关系 ★[高考定位]　以选择题、填空题的形式考查时，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题．以解答题的形式考查时，主要是线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中等． 考点一　空间点、线、面位置关系的判断 [例1]　(1)(2021·潍坊一模)在空间中，下列命题是真命题的是(　　) A．经过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一平面的两直线相互平行 C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 [解析]　D　[当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；如果两个相交平面α，β垂直于同一个平面γ，且α∩β＝l，则在平面α、β内分别存在直线m，n垂直于平面γ，由线面垂直的性质可知n∥m，再由线面平行的判定定理得m∥β，由线面平行的性质得出m∥l，则l⊥γ，故D正确；故选：D.] (2)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. [解析]　D　[由AD1∥BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角． ∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)， 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 则PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝， ∴cos∠PBC1＝＝＝， ∴∠PBC1＝， ∴直线PB与AD1所成的角为.故选：D.] 点晴：本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题． 平移线段法是求异面直线所成角的步骤 (1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． [跟踪训练] 1．(2021·青岛三模)设α、β是空间两个不同平面，a、b、c是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是(　　) A．若α∥β，b∥α，则b∥β B．若直线a与b相交，a∥α，b∥β，则α与β相交 C．若α⊥β，a∥α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝a，b⊂α，b⊥a，c⊥β，则b∥c 解析：D　[对于A选项，若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，A选项错误； 对于B选项，若直线a与b相交，a∥α，b∥β，则α与β相交或平行，B选项错误；对于C选项，若α⊥β，a∥α，则α与β的位置关系不确定，C选项错误；对于D选项，若α⊥β，α∩β＝a，b⊂α，b⊥a，由面面垂直的性质可得b⊥β，∵c⊥β，所以，b∥c，D选项正确．故选：D.] 2．(2021·包头二模)在三棱锥S－ABC中，若SB＝SC＝AC＝BC＝4，SA＝2，SA⊥BC，设异面直线SC与AB所成角为α，则cos α＝(　　 ) A．－ B. C. D．－ 解析：B　[分别取BC、SB、SA的中点E、F、G，连接AE、SE、EF、EG、FG， ∵SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，E为BC的中点，则AE⊥BC，SE⊥BC， 且AE＝SE＝＝2， ∵G为SA的中点，则EG⊥SA，且EG＝＝3，∵E、F分别为BC、SB的中点，∴EF∥SC且EF＝ SC＝2， 同理可得FG∥AB且FG＝AB＝2， 所以，异面直线SC与AB所成角为∠EFG或其补角， 由余弦定理可得cos∠EFG＝＝＝－， 因此，异面直线SC与AB所成角的余弦值为. 故选：B.] 考点二　空间线、面平行、垂直关系的证明 [知识整合] 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. [例2]　(202