山西省2021-2022学年高二上学期12月联考数学试题

2021~2022学年山西省高二上学期12月联合考试 数学 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上。 3.本试卷主要考试内容；人教A版选择性必修第一册至第二册第四章。 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l经过点，，则l的斜率为 A. B. C. D. 2.已知等差数列的前n项和为，，则 A. 24 B. 28 C. 30 D. 36 3.双曲线的离心率为3，则m= A. 3 B. C. 2 D. 1 4.记等比数列的前n项和为，若，，则 A. 12 B. 18 C. 21 D. 27 5.已知等差数列的前n项和为，，，则，的等差中项为 A. B. C. 9 D. 13 6.已知数列满足，则的最小项的值是 A. B. 8 C. D. 7.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积木”就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下査，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则a22= A. 275 B. 277 C. 279 D. 281 8.已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则 A. 没有最大值 B. 有最小值 C.当或时，有最大值 D.当或时，有最小值 9.如图，在真三棱柱中，，，E是的中点，则直线BC与平面所成角的正弦值为 A. B. C. D. 10.已知数列满足，，数列的前n项和为，若，，成等差数列，则n= A. 6 B. 8 C. 16 D. 22 11.已知数列满足，，则使得成立的n的最小值为 A. 5 B. 8 C. 11 D. 15 12.已知双曲线的左、右焦点分別为，，焦距为2c，直线与双曲线C的右支交于P点，若内切圆的半径为，则双曲线C的近线方程为 A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.直线被圆截得的弦长为 ▲ . 14.如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，且，M为BC的中点，则点B到平面PAM的距离为 ▲ . 15.在等比数列中，，则的公比q= ▲ . 16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，上图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，5，12，22称为五边形数，则三角形数的第7项为 ▲ ，五边形数的第8项为 ▲ .（本题第一空2分，第二空3分） 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 已知数列满足，，（，）.记. （1）证明：数列是等比数列. （2）求数列的前n项和. 18.（12分） 在等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 19.（12分） 已知抛物线与直线交于P，Q两点，O为坐标原点，. （1）求抛物线C的方程； （2）若的面积为，求直线l的方程. 20.（12分） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，M是PD的中点. （1）证明：平面PAD. （2）求二面角的余弦值. 21.（12分） 已知数列与数列的各项均为正数，其中为等比数列，，与的等差中项为，的前n项和为，，数列是公差为1的等差数列. （1）求与的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 22.（12分） 已知椭圆，直线经过椭圆C的一个焦点和一个顶点. （1）求椭圆C的方程； （2）若A，B是椭圆C上的两个动点，且AB的中点到原点O的距离为1，求面积的最大值. 2021~2022学年山西省高二上学期12月联合考试 数学参考答案 1.A 直线的斜率为. 2.D 因为，所以. 3.B 因为C的离心率为3，所以，得. 4.C 因为，所以，解得. 5.D 设的公差为d，因为所以，，所以，，故，的等差中项为. 6.C ，易知函数在处有最小值.因为为正整数，且，所以的最小项的值是. 7.A 因为，，，…，，所以，所以. 8.C 因为，所以.因为是与的等比中项，所以，即，化简得.因为，所以.联立方程组解得，. 因为，所以当或时，有最大值. 9.D 由题意知，CA，CB，CC1两两垂直，以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，. 设平面的法向量为，则 令，得.因为，所以，故直线BC与平面所成角的正弦值为. 10.D 因为，且， 所以当时， ， 因为也满足，所以. 因为， 所以. 若，