第3讲 不等式-2022届新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第3讲　不等式 【知识要点】 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)． 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是. (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是. 分式不等式 >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)⇔. 基本不等式 (1)基本不等式：≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时等号成立． 基本不等式的变形： ①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立； ②2≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立． (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 线性规划 (1)可行域的确定，“线定界，点定域”． (2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得． (3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个． (4)求解线性规划问题时，准确把握目标函数的几何意义，如是指可行域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指可行域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等． 考点一　不等式的性质与解法 核心提炼 1．不等式的倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. 2．不等式恒成立问题的解题方法 (1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a，x∈I；f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a，x∈I. (2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法． 【例题分析】 1.已知P＝a2+4a+1，Q＝﹣b2+2b﹣4，则（　　） A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q 2.若b＞a＞0，m＜﹣a，设X＝，Y＝，则（　　） A．X＞Y B．X＜Y C．X＝Y D．X与Y的大小关系不确定 3.已知实数，，，其中，则下列不等式一定正确的是　　 A． B． C． D． 考点二　基本不等式 核心提炼 基本不等式求最值的三种解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值． (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值． (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值． 【例题分析】 1.已知a为正常数，若正实数x，y满足ax+y＝1，则+的最小值是（　　） A．1+a B．1+ C．（1+）2 D．（1+）2 2.若正数x，y满足，则的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3.已知，则的最小值为　　 A． B．9 C．1 D． 4.已知x+2y＝xy（x＞0，y＞0），则2x+y的最小值为　　． 5.设正数x，y满足x+4y＝3，则的最小值为　　；此时x+y的值为　　． 考点三　线性规划 核心提炼 1．截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋(b≠0)，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值． 2．距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2. 3．斜率型：形如z＝(x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM. 【例题分析】 1.若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________． 2.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨． （1）列出甲、乙两种产品满足的关系式，并画出相应的平面区域； （2）在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨时可获得利润最大，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形及具体的解答过程） 考点四　二次函数与一元二次方程 不等式 【例题分析】 1.不等式的解集为　　 A． B．或 C． D．或 2.关于的一元二次不等式的解集为　　 A．