专题二 第二讲 数列的综合问题（课时作业）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（老教材新高考）

单独成册　对应学生用书第129页 [A组　基础练] 1．(2021·潍坊模拟)已知数列{an}是以3为首项，d(d＞0)为公差的等差数列，且a2,3，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an－2n，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)因为a2,3，a4成等比数列，所以a2·a4＝45， 即(a1＋d)(a1＋3d)＝45.因为a1＝3，所以(3＋d)(1＋d)＝15， 即d2＋4d－12＝0，解得d＝2或－6(舍去)，所以an＝2n＋1. (2)由(1)知，bn＝(2n＋1)－2n， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝3＋5＋…＋(2n＋1)－(2＋4＋…＋2n)＝＝(n＋2)·n－(2n＋1－2)＝－2n＋1＋n2＋2n＋2. ·n－ 2．已知数列{an}是等比数列，满足a1＝3，a4＝24，数列{bn}是等差数列，满足b2＝4，b4＝a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝an－bn，求数列{cn}的前n项和． 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q， 由题意，得q3＝＝8， ＝ 解得q＝2，∴{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3×2n－1，∴a3＝12. 设等差数列{bn}的公差为d， ∵b2＝4，b4＝a3＝12，b4＝b2＋2d， ∴12＝4＋2d，解得d＝4. ∴bn＝b2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×4＝4n－4. 故{bn}的通项公式为bn＝4n－4. (2)由(1)知an＝3×2n－1，bn＝4n－4. ∴cn＝an－bn＝3×2n－1－(4n－4)． 从而数列{cn}的前n项和Sn＝3×20＋3×21＋…＋3×2n－1－[0＋4＋8＋…＋(4n－4)]＝3×＝3×2n－3－n(2n－2)＝3×2n－2n2＋2n－3.－ 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*)． (1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2. 证明：(1)由题设得＝2， ，又·＝ 所以数列的等比数列， 是首项为2，公比为 所以. n－1＝22－n，an＝n·22－n＝＝2× (2)证明：由(1)知bn＝. ＝＝ 因为对任意n∈N*,2n－1≥2n－1恒成立， 所以bn≤. 所以Tn≤1＋＜2. ＝2＋…＋＋＋ 4．(2021·青岛模拟)已知公比为q的等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项． (1)求q的值； (2)若bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q. 依题意，有 即 由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝2或q＝1. 代入②知q＝1不成立，故舍去，所以q＝2. (2)由(1)知a1＝2，所以an＝2n， bn＝anlog2an＝2nlog22n＝n·2n， 所以Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 所以2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， 两式相减得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2， 所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2. [B组　创新练] 1．(2021·贵阳模拟)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log，求Tn. ＋…＋＋(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝ 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1， 由S1＋. a1＝1，得a1＝ 当n≥2时，Sn－1＝1－an－1， 则Sn－Sn－1＝(an－1－an)， 即an＝an－1(n≥2)． (an－1－an)，所以an＝ 故数列{an}是以为公比的等比数列．为首项， 故an＝n(n∈N*)．n－1＝2·· (2)因为1－Sn＝n.an＝ 所以bn＝logn＋1＝n＋1.(1－Sn＋1)＝log 所以， －＝＝ 所以Tn＝.＝－＝＋…＋＋＝＋…＋＋ 2．(2021·梅州质检)已知数列{an}满足·(a1＋2a2＋…＋2n－1an)＝2n＋1(n∈N*)． (1)求a1，a2和数列{an}的通项公式； (2)记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围． 解析：(1)由题意得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1， 所以a1＝1×22＝4，a1＋2a2＝2×23，得a2＝6. 由a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，① 得a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n(n≥2)，② 两式相减得2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n， 所以an＝2n＋2(n≥2)，当n＝1时也满足上式． 所以数列{an}的通项