专题一 第三讲 三角函数与解三角形的综合问题（课时作业）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（老教材新高考）

单独成册　对应学生用书第125页 [A组　基础练] 1．(2021·沈阳监测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2＝a2＋bc. (1)求角A的大小； (2)若sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状并给出证明． 解析：(1)由b2＋c2＝a2＋bc，可知， ＝ 根据余弦定理可知，cos A＝， 又A为△ABC的内角，所以A＝. (2)法一：△ABC为等边三角形．证明如下： 由三角形内角和定理得，A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)， 根据已知条件，可得sin(B＋C)＝2sin Bcos C， 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 所以sin(B－C)＝0. 又B－C∈(－π，π)，所以B＝C， 又由(1)知A＝，所以△ABC为等边三角形． 法二：△ABC为等边三角形．证明如下： 由正弦定理和余弦定理及已知条件，得a＝2b×， 整理得b2＝c2，即b＝c. 又由(1)知A＝，所以△ABC为等边三角形． 2．(2021·辽宁五校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，且sin2A＋sin2B－sin2C＋sin Asin B＝0. (1)求证：a，b,2a成等比数列； (2)若△ABC的面积是2，求c. 解析：(1)证明：∵A＋B＋C＝π， sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)， ∴sin B＝－2sin Acos C. 在△ABC中，由正弦定理得，b＝－2acos C， ∵sin2A＋sin2B－sin2C＋sin Asin B＝0， ∴由正弦定理可得a2＋b2－c2＋ab＝0， ∴cos C＝， ，∴C＝＝－ ∴b＝a，则b2＝2a2＝a·2a， ∴a，b,2a成等比数列． (2)△ABC的面积S＝ab＝2， absin C＝ 则ab＝4， 由(1)知，b＝， a，联立两式，解得a＝2，b＝2 ∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×2×2＝20， × ∴c＝2. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＋b＝1且满足条件________． (1)求C； (2)求c的取值范围． 请从下列两个条件：①S＝中选一个条件补充到横线上并解决问题．tan Atan B－tan A－tan B＝(a2＋b2－c2)；② 解析：(1)补充①S＝(a2＋b2－c2)． 由余弦定理可知2abcos C＝a2＋b2－c2， 则S＝·abcos C， ·2abcos C＝ 又S＝.，所以C＝·absin C，故可得tan C＝ 补充②.tan Atan B－tan A－tan B＝ 由.，所以C＝，故tan C＝cos Acos B，整理可得tan(A＋B)＝－sin Asin B－sin Acos B－cos Asin B＝得tan Atan B－tan A－tan B＝ (2)由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C， 又cos C＝，a＋b＝1，∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab. 又a＋b≥2， ≤，a＞0，b＞0，∴0＜ ∴≤c2＜1， ≤1－3ab＜1，∴ ∴. ≤c＜1，∴c的取值范围为 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B－cos2C＝sin2A－sin Asin B. (1)求角C； (2)若A＝，M为AB的中点，求CM的长．，△ABC的面积为4 解析：(1)根据cos2B＋sin2B＝1，cos2C＋sin2C＝1，知cos2B－cos2C＝sin2C－sin2B＝sin2A－ab＝a2＋b2－c2. ab，即sin Asin B，根据正弦定理可化为c2－b2＝a2－ 由余弦定理，得cos C＝. ＝ 因为0＜C＜π，所以C＝. (2)因为A＝C＝， ，所以△ABC为等腰三角形，且顶角B＝ 故S△ABC＝，所以a＝4.a2＝4a2sin B＝ 在△MBC中，由余弦定理得，CM2＝MB2＋BC2－2·MB·BCcos B＝4＋16＋2×2×4×.＝28，解得CM＝2 [B组　创新练] 1．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，cos B＝. (1)求的值；＋ (2)设，求a＋c的值．＝· 解析：(1)由cos B＝， ＝，0<B<π得sin B＝ ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. 由正弦定理，可得sin2B＝sin Asin C， 于是.＝＝＝＝＝＋＝＋ (2)由， 得cacos B＝＝· 而cos B＝，∴b2＝ac＝2， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， ∴a2＋c2＝5